[论文解读] Types for tame p-adic groups

Jessica Fintzen|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 12

一句话总结

本文证明，对于任意奇素数 $p$ 的域 $k$ 上的 tame $p$-adic 代数群 $G(k)$，其每个光滑不可约复表示都包含一个通过 Kim–Yu 方法构造的 $ω$-型，且在 $p$ 不整除 Weyl 群 $W$ 的阶时，每个不可约超临界表示均可由 Yu 的构造得到。该结果在正特征与零特征情形下均成立，且给出了明确而紧致的 $p$ 的界限，优于 Kim 早期工作中的非有效界限与特征限制。

ABSTRACT

Let k be a non-archimedean local field with residual characteristic p. Let G be a connected reductive group over k that splits over a tamely ramified field extension of k. Suppose p does not divide the order of the Weyl group of G. Then we show that every smooth irreducible complex representation of G(k) contains an $\mathfrak{s}$-type of the form constructed by Kim and Yu and that every irreducible supercuspidal representation arises from Yu's construction. This improves an earlier result of Kim, which held only in characteristic zero and with a very large and ineffective bound on p. By contrast, our bound on p is explicit and tight, and our result holds in positive characteristic as well. Moreover, our approach is more explicit in extracting an input for Yu's construction from a given representation.

研究动机与目标

• 通过类型理论对 $p$-adic 群的光滑不可约复表示进行分类，尤其在不假设特征为零或 $p$ 较大的前提下。
• 将 Kim 早期关于超临界表示的结果推广至正特征情形，并对 $p$ 给出明确而紧致的界限。
• 证明在温和的可 tame 性与 $p$-互素条件下，$G(k)$ 的每个不可约光滑表示均包含一个 Kim–Yu $ω$-型。
• 提供一种构造性、明确的方法，从任意给定的不可约表示中提取 Yu 构造所需的输入数据。
• 在条件 $p \nmid |W|$ 下，证明 Yu 的构造穷尽了所有超临界表示。

提出的方法

• 利用类型理论与 Bernstein 分解，通过内禀等价类 $\mathfrak{s}$ 对表示进行分类。
• 应用 Kim–Yu 方法构造类型，其对应于一个表示的极大数据元组 $(\vec{G}, x, \vec{r}, \rho|_{K_{G_{n+1}}}, \vec{\phi})$。
• 依赖于群中几乎强稳定与通用元素的存在性，以构建 Yu 构造所需的各项数据。
• 在群 $\widetilde{K} = (G_{n+1})_{[x]}(G_n)_{x,r_n/2}\cdots(G_1)_{x,r_1/2}$ 上构造一个表示 $\widetilde{\rho}$，通过紧致诱导实现该类型。
• 利用 Frobenius 对偶性与紧致诱导表示的不可约性，证明给定表示与 Yu 构造之间存在同构。
• 利用约化 Bruhat–Tits 建筑与点的稳定子群，定义紧致开子群，确保与构造的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p \nmid |W|$ 时，每个光滑不可约表示是否都包含一个 Kim–Yu $ω$-型？
• RQ2 在相同条件下，Yu 的构造是否能穷尽所有不可约超临界表示？
• RQ3 条件 $p \nmid |W|$ 是否为通过 Yu 方法穷尽超临界表示的最优条件？
• RQ4 能否在正特征情形下使构造显式且有效，避免非有效界限？
• RQ5 如何从给定的不可约表示中算法性地提取 Yu 构造的输入数据？

主要发现

• 每个 $G(k)$ 的光滑不可约复表示均包含一个由 Kim 和 Yu 构造的 $ω$-型。
• 当 $p$ 不整除 Weyl 群 $W$ 的阶时，$G(k)$ 的所有不可约超临界表示均可由 Yu 的构造得到。
• $p \nmid |W|$ 的界限是明确且紧致的，优于 Kim 的非有效且依赖特征的界限。
• 该结果在零特征与正剩余特征下均成立，将先前结果推广至完全一般的情形。
• 该构造提供了一种自然方法，为任意不可约表示关联一个极大数据，从而可显式提取 Yu 方法的输入。
• 一个表示是超临界的，当且仅当其关联的点 $x$ 位于最小维单形上，且 $Z(G_{n+1})/Z(G)$ 是非分歧的。