[论文解读] U-max-Statistics and Limit Theorems for Perimeters and Areas of Random Polygons

Elizaveta Koroleva, Ya. Yu. Nikitin|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 8被引用 4

一句话总结

该论文将U-max-统计量理论扩展至随机m边形，推导出内接或外切于单位圆的随机m边形的最大与最小周长及面积的极限定理。通过渐近分析与极值理论，证明了外切m边形的最大周长与最小面积经标准化后收敛于特定速率的威布尔分布，揭示了当m → ∞时，内接多边形最大面积与外切多边形最小周长的常数之间存在出乎意料的渐近等价性。

ABSTRACT

Recently W. Lao and M. Mayer [6], [7], [9] considered $U$-max - statistics, where instead of sum appears the maximum over the same set of indices. Such statistics often appear in stochastic geometry. The examples are given by the largest distance between random points in a ball, the maximal diameter of a random polygon, the largest scalar product within a sample of points, etc. Their limit distribution is related to the distribution of extreme values. Among the interesting results obtained in [6], [7], [9] are limit theorems for the maximal perimeter and the maximal area of random triangles inscribed in a circumference. In the present paper we generalize these theorems to convex $m$-polygons, $m \geq 3,$ with random vertices on the circumference. Next, a similar problem is solved for the minimal perimeter and the minimal area of circumscribed $m$-polygons which has not been previously considered in literature. Finally, we discuss the obtained results when $m o \infty.$

研究动机与目标

• 将先前关于随机三角形最大周长与面积的研究结果推广至任意m ≥ 3的凸m边形。
• 建立外切m边形最小周长与最小面积的极限定理，该问题此前尚未被研究。
• 使用斯特林公式分析极限常数在m → ∞时的渐近行为。
• 识别出内接多边形最大面积与外切多边形最小周长函数泛函之间存在的意外渐近等价性。

提出的方法

• 将U-max-统计量形式化为单位圆上i.i.d.点的所有m元组上对称核函数的最大值。
• 应用Lao-Mayer与Silverman-Brown定理，在尾概率与依赖结构满足特定条件下，推导出其分布收敛于威布尔分布。
• 推导出控制最大与最小泛函收敛速率的极限常数K_{im}（i=1,2,3,4）的精确表达式。
• 使用斯特林公式对常数中的伽马函数与三角函数项在m → ∞时进行渐近逼近。
• 进行详细的渐近分析，表明在极限下K_{2m} ∼ K_{3m}与K_{1m} ∼ K_{4m}成立，揭示了出乎意料的等价性。
• 建立标准化极值泛函的收敛速率O(n^{-(m-1)/2})。

实验结果

研究问题

• RQ1 当n → ∞且m ≥ 3时，内接于单位圆的随机m边形的最大周长与面积的极限分布为何？
• RQ2 当n → ∞且m ≥ 3时，外切于单位圆的随机m边形的最小周长与面积的极限分布为何？
• RQ3 这些极值泛函的极限常数在m → ∞时的行为如何？
• RQ4 是否存在内接多边形最大面积与外切多边形最小周长函数泛函之间出乎意料的渐近等价性？
• RQ5 标准化极值泛函在极限下的收敛速率是多少？

主要发现

• 内接m边形的最大周长经标准化后，其分布收敛于威布尔分布，累积分布函数为1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{1m}}。
• 内接m边形的最大面积经标准化后，其分布收敛于威布尔分布，累积分布函数为1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{2m}}。
• 外切m边形的最小周长经标准化后，其分布收敛于威布尔分布，累积分布函数为1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{3m}}。
• 外切m边形的最小面积经标准化后，其分布收敛于威布尔分布，累积分布函数为1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{4m}}。
• 当m → ∞时，渐近常数满足K_{2m} ∼ K_{3m}与K_{1m} ∼ K_{4m}，表明内接多边形最大面积与外切多边形最小周长之间存在出乎意料的渐近等价性。
• 所有标准化泛函的收敛速率均为O(n^{-(m−1)/2})，且随m增大而改善。