[论文解读] U-Processes, U-Quantile Processes and Generalized Linear Statistics of Dependent Data

Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2010

Statistical Methods and Inference参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文在绝对平稳过程的强 mixing 或 L¹ 近 epoch 依赖条件下，建立了广义线性（GL）统计量的渐近理论，涵盖 U-统计量、U-分位数和 L-统计量。通过几乎必然逼近经验 U-过程到高斯过程，本文在弱于以往研究的条件下，推导出不变性原理、中心极限定理和迭代对数定律。

ABSTRACT

Generalized linear statistics are an unifying class that contains U-statistics, U-quantiles, L-statistics as well as trimmed and winsorized U-statistics. For example, many commonly used estimators of scale fall into this class. GL-statistics only have been studied under independence; in this paper, we develop an asymptotic theory for GL-statistics of sequences which are strongly mixing or L^1 near epoch dependent on an absolutely regular process. For this purpose, we prove an almost sure approximation of the empirical U-process by a Gaussian process. With the help of a generalized Bahadur representation, it follows that such a strong invariance principle also holds for the empirical U-quantile process and consequently for GL-statistics. We obtain central limit theorems and laws of the iterated logarithm for U-processes, U-quantile processes and GL-statistics as straightforward corollaries.

研究动机与目标

• 将广义线性统计量的渐近理论从独立数据推广至弱依赖序列。
• 在强 mixing 或 L¹ 近 epoch 依赖条件下，建立 U-过程与 U-分位数过程的强不变性原理。
• 在弱于先前结果的矩条件与依赖条件下，推导出广义线性统计量的中心极限定理与迭代对数定律。
• 将 Bahadur 表示推广至依赖数据下的 U-分位数，从而实现功能性极限定理。
• 为弱依赖下的 U-统计量、U-分位数、L-统计量以及截尾/Winsorized U-统计量提供统一的渐近理论框架。

提出的方法

• 使用 Hoeffding 分解将 U-统计量分离为线性与退化两部分。
• 在强 mixing 或 L¹ 近 epoch 依赖条件下，应用经验 U-过程对高斯过程的几乎必然逼近。
• 对 U-分位数采用广义 Bahadur 表示，将经验过程与高斯过程关联。
• 施加技术性条件：核函数在第三变量上有界且非减，U-分布函数连续，以及 h 的一致变差条件。
• 通过高斯过程逼近与利普希茨泛函映射，应用功能性极限定理。
• 将经验 U-分布函数视为以 t 为索引的随机过程，其中核函数 h(x,y,t) = 1_{g(x,y) ≤ t}。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱依赖条件下，能否为经验 U-过程建立强不变性原理？
• RQ2 当基础序列存在依赖时，U-分位数的广义 Bahadur 表示是否仍然成立？
• RQ3 在强 mixing 或近 epoch 依赖条件下，广义线性统计量的中心极限定理与迭代对数定律在何种条件下成立？
• RQ4 如何将 U-统计量的渐近理论扩展至弱依赖下的 U-分位数与 L-统计量？
• RQ5 在更弱的依赖与矩条件之下，广义线性统计量的收敛速度能否得到改进？

主要发现

• 在绝对平稳过程的强 mixing 或 L¹ 近 epoch 依赖条件下，经验 U-过程对高斯过程的几乎必然逼近成立。
• 建立了经验 U-分位数过程的强不变性原理，误差率为 O(log⁻¹/³⁸⁴⁰ n) 几乎必然。
• 将 U-分位数的广义 Bahadur 表示推广至依赖数据，从而支持功能性极限定理。
• 作为推论，推导出 U-过程、U-分位数过程与广义线性统计量的中心极限定理与迭代对数定律。
• 在弱依赖条件下，广义线性统计量的收敛速度相比以往结果得到改进，且在不变性原理中给出了明确的误差界。
• 该理论统一了弱依赖下 U-统计量、U-分位数、L-统计量以及截尾/Winsorized U-统计量的渐近框架。