[论文解读] Uhlenbeck compactness for arbitrary $L^\infty$ connections and optimal regularity in General Relativity by the RT-equations

Moritz Reintjes, Blake Temple|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文建立了任意光滑流形（包括洛伦兹时空）上 $L^\infty$ 连接的乌尔本施克紧致性与最优正则性。通过引入简化版的 RT-方程作为坐标变换雅可比矩阵的椭圆型偏微分方程，证明了任意具有 $L^\infty$ 曲率的 $L^\infty$ 连接均可通过坐标变换光滑化至 $W^{1,p}$ 正则性，从而在广义相对论中确保经典解的存在，例如测地线与局部惯性系，即使在激波面处亦然。

ABSTRACT

We resolve two problems in Mathematical Physics. First, we prove that any $L^{\infty}$ connection $\Gamma$ on the tangent bundle of an arbitrary differentiable manifold with $L^\infty$ Riemann curvature can be smoothed by coordinate transformation to optimal regularity, $\Gamma \in W^{1,p}$, (one derivative smoother than the curvature), any $p<\infty$. For Lorentzian metrics in General Relativity this implies that shock wave solutions of the Einstein-Euler equations are non-singular---geodesic curves, locally inertial coordinates and the Newtonian limit all exist in a classical sense. The proof is based on extending authors' existence theory for the RT-equations by one order, to the level of $L^{\infty}$ connections, and to accomplish this we introduce the $reduced$ RT-equations, a system of $elliptic$ partial differential equations for the Jacobians of the regularizing coordinate transformations. Secondly, we prove that this existence theory suffices to extend $Uhlenbeck$ $compactness$ from the case of connections on vector bundles over Riemannian manifolds (2019 Abel Prize and 2007 Steele Prize), to the case of connections on the tangent bundle of arbitrary differentiable manifolds, including Lorentzian manifolds of relativistic Physics. By this, Uhlenbeck compactness and optimal regularity are understood to be pure logical consequences of the rule which defines how connections transform from one coordinate system to another.

研究动机与目标

• 解决任意光滑流形（包括洛伦兹时空）上 $L^\infty$ 连接的正则性与紧致性问题。
• 将乌尔本施克紧致性从黎曼流形上的向量丛推广至一般流形上的切丛。
• 确立爱因斯坦-欧拉方程激波解中存在经典几何结构（如测地线与局部惯性坐标）的结论。
• 证明连接的最优正则性（$W^{1,p}$）是坐标变换规则的直接推论。
• 将 RT-方程的存在性理论推广至 $L^\infty$ 设置，实现连接正则性较曲率提升一阶的光滑化。

提出的方法

• 引入简化版 RT-方程，即控制正则化坐标变换雅可比矩阵的椭圆型偏微分方程组，以正则化 $L^\infty$ 连接。
• 通过椭圆估计分析雅可比矩阵的正则性，将 RT-方程的存在性理论从 $L^p$ 推广至 $L^\infty$ 连接。
• 利用连接的变换法则，推导出一个系统，确保变换后的连接对任意 $p<\infty$ 达到 $W^{1,p}$ 正则性，即比曲率高一阶正则性。
• 证明简化版 RT-方程解的存在性蕴含任意流形上切丛连接的乌尔本施克紧致性。
• 确立紧致性与正则性结果是连接在坐标变换下标准变换法则的逻辑推论，无需额外几何假设。
• 将理论应用于洛伦兹流形，表明爱因斯坦-欧拉方程的激波解在经典意义下仍保持几何正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在曲率仅为 $L^\infty$ 的情况下，能否通过坐标变换将任意光滑流形上 $L^\infty$ 连接正则化至 $W^{1,p}$？
• RQ2 乌尔本施克紧致性是否可从黎曼流形上的向量丛推广至一般流形（包括洛伦兹时空）上的切丛？
• RQ3 RT-方程能否推广至 $L^\infty$ 设置，以实现连接的最优正则性？
• RQ4 连接的最优正则性（$W^{1,p}$）是否为坐标变换下连接变换法则的直接结果？
• RQ5 广义相对论中的激波解是否仍存在经典几何结构（如测地线与局部惯性系）？

主要发现

• 任意光滑流形切丛上的 $L^\infty$ 连接，若其曲率为 $L^\infty$，则可通过坐标变换实现对任意 $p<\infty$ 的 $W^{1,p}$ 正则性，其正则性比曲率高一阶。
• 简化版 RT-方程（控制正则化坐标变换雅可比矩阵的椭圆型系统）在 $L^\infty$ 设置下存在解，从而实现上述光滑化结果。
• 通过正则化坐标的存在的方式，乌尔本施克紧致性被推广至任意光滑流形（包括洛伦兹流形）的切丛连接。
• 由于连接具有 $W^{1,p}$ 正则性，爱因斯坦-欧拉方程激波解中局部惯性系与经典测地线的存在性得以保持。
• 最优正则性与乌尔本施克紧致性被证明是连接标准变换法则的逻辑推论，无需额外几何假设。
• 该理论证实，即使在广义相对论中存在激波，牛顿极限与局部惯性系在经典意义下依然存在。