[论文解读] Ultradifferentiable CR manifolds

Stefan Fürdös|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 34被引用 1

一句话总结

本文通过由权序列定义的Denjoy-Carleman类引入了超不同光滑CR流形，并证明了若目标流形为形式全纯非退化，则有限非退化CR映射为{M}类超不同光滑。关键结果通过微局部分析与准解析延拓，将Lamel的正则性定理推广至超不同光滑设定，证明当流形为拟解析且形式全纯非退化时，局部延伸至楔形的光滑CR微分同胚为{M}类超不同光滑。

ABSTRACT

Das Hauptthema dieser Arbeit ist die Untersuchung der Regularität von CR Abbildungen zwischen ultradifferenzierbaren CR Mannigfaltigkeiten. Ultradifferenzierbar ist hier im Sinne von Denjoy-Carleman Klassen gemeint, d.h. von Teilalgebren glatter Funktionen die durch Gewichtsfolgen definiert werden. Es werden hier hauptsächlich Denjoy-Carleman Klassen betrachtet, die (durch im Sinne von Dyn'kin reguläre) Gewichtsfolgen definiert sind. Insbesondere werden Reflektionsprinzipe von Lamel und Berhanu-Xiao für endlich nichtdegenerierte CR Abbildungen in die ultradifferenzierbare Kategorie verallgemeinert. Genauer wird gezeigt, dass jede endlich nichtdegenerierte CR Abbildung zwischen zwei ultradifferenzierbaren CR Mannigfaltigkeiten von derselben Denjoy-Carleman Klasse, die nahe eines Punktes eine holomorphe Ausdehnung in einen Wedge besitzt, nahe dieses Punktes ultradifferenzierbar von der gleichen Regularität wie die Mannigfaltigkeiten ist. Für den Beweis der obigen Aussage wird eine geometrische Theorie der ultradifferenzierbaren Wellenfrontmenge im Sinne von Denjoy-Carleman Klassen, welches ursprünglich von Hörmander definiert wurde, für reguläre Gewichtsfolgen entwickelt. Insbesonders wird ein Satz von Dyn'kin über die Charakterisierung von Elementen regulärer Denjoy-Carleman Klassen durch fast-analytische Ausdehnungen verwendet, um die Charakterisierung der ultradifferenzierbaren Wellenfrontmenge durch fast-analytische Ausdehnungen in flache Wedges bzw. durch die verallgemeinerte FBI Transformation im Sinne von Berhanu-Hounie zu zeigen. Dies erlaubt die invariante Definition der ultradifferenzierbare Wellenfrontmenge auf ultradifferenzierbare Mannigfaltigkeiten der selben Denjoy-Carleman Klasse zu geben. Weiters wird ein Satz über ultradifferenzierbare mikrolokale elliptische Regularität für vektorwertige Distributionen und Differentialoperatoren mit ultradifferenzierbaren Koeffizienten bewiesen, was Resultate von Hörmander, Albanese-Jornet-Oliaro und anderen verallgemeinert. Weiters werden die oben genannten Resultate für die ultradifferenzierbare Wellenfrontmenge dazu verwendet die Aussagen von Fürdös-Lamel bezüglich der Regularität von infinitesimalen CR Automorphismen auf abstrakten CR Mannigfaltigkeiten in die ultradifferenzierbare Kategorie zuverallgemeinern. Als weitere direkte Anwendung der mikrolokalen Techniken werden quasianalytische Verallgemeinerungen von Resultaten von Holmgren, Hörmander, Bony und Zachmanoglou über die Eindeutigkeit von Lösungen homogener Gleichungen gegeben.

研究动机与目标

• 将CR映射的正则性理论从光滑与实解析设定推广至由Denjoy-Carleman类定义的超不同光滑设定。
• 在适当的非退化条件下，建立有限非退化CR映射在超不同光滑CR流形之间为{M}类超不同光滑。
• 研究抽象超不同光滑CR流形上无穷小CR自同构的超不同光滑正则性。
• 利用近乎解析延拓，发展超不同光滑流形上超不同光滑波前集的微局部框架。

提出的方法

• 通过权序列M = (mj)j的广义Cauchy估计定义超不同光滑函数，从而导出Denjoy-Carleman类{M}。
• 利用Dyn'kin关于超不同光滑函数的近乎解析延拓刻画，定义超不同光滑流形上分布的超不同光滑波前集WFM(u)。
• 应用Lamel与Berhanu-Xiao改进的M-近乎解析隐函数定理，证明在超不同光滑范畴中的正则性。
• 通过行列式Λ(α,r)的乘子法分析CR流形的正则性及CR向量场的行为。
• 利用形式全纯非退化条件确保非平凡乘子的存在，进而通过乘子将超不同光滑性从λ·Xj传播至向量场Xj自身。
• 证明若光滑CR微分同胚在边为M的楔形上微局部可延拓，且M为形式全洁非退化且拟解析，则该微分同胚为{M}类超不同光滑。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将有限非退化CR映射的正则性从光滑与实解析范畴推广至由Denjoy-Carleman序列定义的超不同光滑类？
• RQ2 在何种条件下，CR映射微局部延伸至楔形可推出其在{M}类中的超不同光滑性？
• RQ3 如何将波前集概念推广至超不同光滑流形上的超不同光滑分布？
• RQ4 形式全洁非退化在确保无穷小CR自同构的超不同光滑性中起何作用？
• RQ5 超不同光滑正则性结果在拟解析权序列下是否稳定？拟解析性如何促进正则性的传播？

主要发现

• 若目标流形为形式全洁非退化，则有限非退化CR映射在{M}类超不同光滑CR流形之间亦为{M}类超不同光滑。
• 当权序列M为正规时，超不同光滑流形上分布的超不同光滑波前集WFM(u)有良好定义。
• 在拟解析设定下，若在某点p0存在非平凡形式幂级数乘子，则光滑CR向量场在p0附近为{M}类超不同光滑。
• 证明依赖于M-近乎解析隐函数定理，且当λ·Xj的形式幂级数为超不同光滑时，若λ在p0处具有非平凡Taylor级数，则Xj亦为超不同光滑。
• 对于拟解析流形，若光滑CR微分同胚可微局部延伸至边为M的楔形，且M为形式全洁非退化，则该微分同胚为{M}类超不同光滑。
• 由CR流形结构方程构造的行列式Λ(α,r)是验证CR正则性的关键工具，亦可用于分析乘子法下映射的行为。