[论文解读] Ultrametric pseudodifferential operators and wavelets for the case of non homogeneous measure

С. В. Козырев|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2004

advanced mathematical theories参考文献 12被引用 29

一句话总结

本文在任意非齐次测度下的非阿基米德空间 $ L^2(X,\nu) $ 中引入了正交基的非阿基米德小波，证明了形如 $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ 的伪微分算子（PDO）在这些基下是对角化的。其主要贡献在于给出了此类 PDO 特征值的显式公式，该公式以球的测度和核函数 $ T^{(I)} $ 表示，将先前针对齐次测度的结果推广到了非齐次测度情形。

ABSTRACT

A family of orthonormal bases of ultrametric wavelets in the space of quadratically integrable with respect to arbitrary measure functions on general (up to some topological restrictions) ultrametric space is introduced. Pseudodifferential operators (PDO) on the ultrametric space are investigated. We prove that these operators are diagonal in the introduced bases of ultrametric wavelets and compute the corresponding eigenvalues. Duality between ultrametric spaces and directed trees is discussed. In particular, a new way of construction of ultrametric spaces by completion of directed trees is proposed.

研究动机与目标

• 将非阿基米德伪微分算子（PDO）的理论推广到非齐次测度情形，其中球的测度不一定是相等的。
• 在 $ L^2(X,\nu) $ 中构造非阿基米德小波的正交基，使其对角化这些 PDO。
• 建立非阿基米德空间与有向树之间的对偶性，提出通过完备化有向树来构造非阿基米德空间的新方法。
• 在小波基下计算 PDO 的特征值，将 $ p $-进数和齐次情形下的结果加以推广。

提出的方法

• 从完备非阿基米德空间 $ X $ 中球的包含结构出发，定义一个有向树 $ \mathcal{T}(X) $，并在 $ X \cup \mathcal{T}(X) $ 上赋予偏序关系。
• 利用球及其子球的特征函数，构造 $ L^2(X,\nu) $ 上的正交小波基 $ \psi_{Ij} $，并通过测度归一化确保正交性。
• 定义伪微分算子 $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $，其中 $ T^{(I)} $ 是定义在树 $ \mathcal{T}(X) $ 上的函数。
• 证明小波 $ \psi_{Ij} $ 是算子 $ T $ 的特征函数，其特征值为 $ \lambda_I = T^{(I)}\nu(D_I) + \sum_{J>I} T^{(J)}(\nu(D_J) - \nu(D_{J-1,I})) $，前提是级数绝对收敛。
• 利用非阿基米德空间与有向树之间的对偶性，定义树上的度量，并通过此类树的完备化构造非阿基米德空间。
• 验证当 $ T^{(I)} $ 为实值函数时，算子 $ T $ 是自伴的，且其作用于常数函数时结果为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 当测度 $ \nu $ 为非齐次（即球的测度为任意正数）时，如何在 $ L^2(X,\nu) $ 中构造非阿基米德小波的正交基？
• RQ2 在何种条件下，伪微分算子 $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ 在非阿基米德小波基下是对角化的？
• RQ3 此类 PDO 的特征值在测度 $ \nu $ 和核函数 $ T^{(I)} $ 下的显式公式是什么？
• RQ4 如何通过由偏序导出的度量，系统地从有向树构造非阿基米德空间？
• RQ5 极限 $ \lim_{J \to \infty} \left( \frac{1}{\nu(D_I)} - \frac{1}{\nu(D_J)} \right) $ 在确保小波基的 Parseval 恒等式中起什么作用？

主要发现

• 对于完备非阿基米德空间 $ X $ 上任意 $ \sigma $-可加且可数生成的测度 $ \nu $，均构造出了非阿基米德小波的正交基 $ \psi_{Ij} $，将先前针对齐次测度的结果推广到了非齐次测度情形。
• 伪微分算子 $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ 在小波基下是对角化的，其特征值为 $ \lambda_I = T^{(I)}\nu(D_I) + \sum_{J>I} T^{(J)}(\nu(D_J) - \nu(D_{J-1,I})) $，前提是级数绝对收敛。
• 算子 $ T $ 作用于常数函数时结果为零，证实了其作为差分型算子的性质。
• 小波基满足 Parseval 恒等式，当极限 $ A $ 有限时，$ \widetilde{\chi}_I $ 的范数为 $ \nu^2(D_I) \left( \frac{1}{\nu(D_I)} - \frac{1}{A} \right) $，通过添加常数范数项可使恒等式恢复成立。
• 通过有向树的完备化构造非阿基米德空间的方法被证明是有效的，其度量由树上的偏序关系诱导。
• 非阿基米德空间与有向树之间的对偶性得到形式化，树的结构编码了球的层次包含关系，从而支持了算子核 $ T^{(I)} $ 的定义。