[论文解读] Umbilicity and characterization of Pansu spheres in the Heisenberg group

Jih-Hsin Cheng, Hung-Lin Chiu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文基于水平形状算子的行为，为Heisenberg群$H_n$（$n \geq 2$）中的超曲面引入了一种类脐性概念，并证明了Pansu球面是唯一具有正的常数$p$-平均曲率且处处脐的紧致、连通、$C^2$超曲面。关键结果通过脐性对Pansu球面进行了表征，利用几何分析与CR几何，将经典的Alexandrov型定理推广至子黎曼几何设定。

ABSTRACT

For $n\geq 2$ we define a notion of umbilicity for hypersurfaces in the Heisenberg group $H_{n}$. We classify umbilic hypersurfaces in some cases, and prove that Pansu spheres are the only umbilic spheres with positive constant $p$(or horizontal)-mean curvature in $H_{n}$ up to Heisenberg translations.

研究动机与目标

• 为Heisenberg群$H_n$（$n \geq 2$）中的超曲面定义一个推广自欧氏空间经典概念的几何脐性概念。
• 在自然的正则性与曲率条件下对$H_n$中的脐超曲面进行分类。
• 证明Pansu球面是唯一紧致、连通、$C^2$且具有正的常数$p$-平均曲率且处处脐的超曲面，至多相差Heisenberg平移。
• 通过将脐性与常数$p$-平均曲率关联，将Alexandrov型定理推广至子黎曼设定。

提出的方法

• 在超曲面的正则部分定义水平单位法向量$e_{2n} = Je_n$及向量场$X_n = \nabla_{e_n}e_{2n} + le_n$，其中$l$为与曲率相关的标量函数。
• 引入作用于$\xi \cap T\Sigma$的极大$J$-不变子空间$\xi'$上的形状算子$-\nabla e_{2n} + \alpha J'$，并通过其特征值相等来定义脐性。
• 利用形状算子在$\xi'$上的不变性及特征值$\lambda_1 = \cdots = \lambda_{2n-1}$的相等性来定义脐点。
• 应用Hopf的指标定理，证明无奇点的闭合紧致超曲面会导致矛盾，从而推出奇点的存在。
• 分析奇点集$S_\Sigma$的结构，证明其由孤立点构成，进而得出$\Sigma \setminus S_\Sigma$连通且可识别为某水平集$\Sigma(K)$。
• 通过分析函数$\alpha$在奇点附近的性质，证明唯一可能的紧致水平集为$\alpha$-轴，对应Pansu球面。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Heisenberg群$H_n$（$n \geq 2$）中的超曲面定义一种推广自欧氏空间经典概念的脐性概念？
• RQ2 Pansu球面是否为$H_n$中唯一紧致、连通、$C^2$且具有正的常数$p$-平均曲率且处处脐的超曲面？
• RQ3 在$H_n$中，若一紧致脐超曲面存在奇点，是否必然使其与Pansu球面合同？
• RQ4 能否将欧氏空间中通过脐性表征球面的结论推广至Heisenberg群的子黎曼设定？

主要发现

• 本文基于形状算子$-\nabla e_{2n} + \alpha J'$在$\xi'$上的不变性与相等特征值，定义了$H_n$中一种新的脐性概念。
• 证明了任何紧致、连通、$C^2$的超曲面，若具有正的常数$p$-平均曲率且所有正则点均为脐点，则必至少包含一个奇点。
• 奇点的存在迫使函数$\alpha$有界，从而将可能的水平集限制为$\alpha$-轴，这意味着超曲面与Pansu球面合同。
• Pansu球面是$H_n$中唯一紧致、连通、$C^2$且具有正的常数$p$-平均曲率且处处脐的超曲面，至多相差Heisenberg平移。
• 本文表明，某些Sobolev极值函数（如$p=2$和$p=1$时）的水平集也是脐的，且仅当$l=3k$时$\lambda=0$，即水平集恰好为Pansu球面时成立。
• 对于$p=1$，$p$-平均曲率方程解的水平集为脐集，且满足$l=2k$，对应Pansu球面的结构。