[论文解读] Un exemple de feuilletage modulaire d\\'eduit d'une solution alg\\'ebrique de l'\\'equation de Painlev\\'e VI

Gaël Cousin|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文从六阶Painlevé方程的代数解出发，通过单值性分析和双重覆盖，构造了射影平面上一种新颖的模形式叶状结构，将其实现为Hilbert模曲面。关键结果是给出了一个具有两个横截投影叶状结构的模形式曲面的双有理模型，其由显式给出的微分1-形式定义，并存在一个交换两者的对合，通过Kodaira维数分类和与PSL_2(Z[√3])在双圆盘上的作用，证明了叶状结构的模形式性。

ABSTRACT

One can easily give examples of rank 2 flat connections over $\\mathbb{P}^2$ by rational pull-back of connections over $\\mathbb{P}^1$. We give an example of a connection that can not occur in this way; this example is constructed from an algebraic solution of Painlev\\'e VI equation. From this example we deduce a Hilbert modular foliation. The proof of this relies on the classification of foliations on projective surfaces due to Brunella, Mc Quillan and Mendes. Then, we get the dual foliation and, by a precise monodromy analysis, we see that our twice foliated surface is covered by the classical Hilbert modular surface constructed from the action of $\\mathrm{PSL}_2(\\mathbb{Z}[\\sqrt{3}])$ on the bidisc.

研究动机与目标

• 构造一个在有理曲面上的新型模形式叶状结构，其不能通过从P^1拉回得到。
• 证明特定Painlevé VI代数解可导出具有模形式性质的横截投影叶状结构。
• 证明所得叶状结构的Kodaira维数为-∞且ν = 1，依据Brunella-McQuillan-Mendes分类法，将其表征为模形式叶状结构。
• 识别对偶叶状结构，并在P^2上建立一个显式双有理对合，交换两个叶状结构。
• 证明该曲面是与PSL_2(Z[√3])在双圆盘上作用相关的Hilbert模曲面的双重覆盖。

提出的方法

• 从Painlevé VI的代数解出发，在P^1 × C上的P^1-纤维丛上构造一个Riccati叶状结构R。
• 利用Riccati叶状结构的Z/4Z对称性，在新纤维丛上构造商叶状结构R~。
• 选取该商纤维丛的一个截面，得到P^2上的横截投影叶状结构F_ω。
• 显式计算定义P^2上对偶叶状结构的1-形式ω和τ。
• 应用双重覆盖，将叶状结构提升至与PSL_2(Z[√3])相关的Hilbert模曲面。
• 通过单值性分析和基于Kodaira维数的叶状结构分类，证明模形式性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否直接从Painlevé VI的代数解构造有理曲面上的模形式叶状结构，而无需通过从P^1拉回？
• RQ2 与√3相关的Painlevé VI解所生成的叶状结构的单值性和几何不变量是什么？
• RQ3 在P^2上如何显式描述对偶叶状结构及交换两个叶状结构的对合？
• RQ4 P^2上的所得叶状结构是否具有Kodaira维数-∞和ν = 1，从而确认其模形式性？
• RQ5 该曲面是否为由PSL_2(Z[√3])在双圆盘上作用构造的Hilbert模曲面的双重覆盖？

主要发现

• 本文构造了一个Hilbert模曲面的双有理模型，形式为(P^2, {F_ω, G_τ})，其中显式给出了1-形式ω和τ。
• 通过Kodaira维数不变量（kod = -∞ 且 ν = 1）证明叶状结构F_ω为模形式叶状结构。
• 在P^2上存在一个显式的双有理对合σ，交换F_ω与G_τ，从而确认其对偶性。
• 该曲面是与PSL_2(Z[√3])相关的Hilbert模曲面的双重覆盖，确认其模形式起源。
• 该构造实现了PSL_2(Z[√3])的Hurwitz-Maass扩张作为叶状结构的单值群。
• 该方法提供了一个新的非拉回模形式叶状结构示例，与[MP05]中的早期构造不同。