[论文解读] Unavoidable sets and Wiener's test for Hunt processes

Wolfhard Hansen|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文建立了一种类似Wiener的检验方法，用于判断在满足基于度量比较 G ≈ g ◦ ρ 的Green函数的balayage空间中的Hunt过程，某集合是否为不可避免集（即从任意起点以概率1被命中）。在满足双倍性质及g的衰减性等条件下，本文证明：局部有限个不相交球的并集是不可避免集，当且仅当涉及 g(ρ(x₀,z))/g(rz) 的某一系列发散，从而推广并简化了关于扩散过程命中概率的先前结果。

ABSTRACT

Let (X,W) be a balayage space, 1 ∈ W, or – equivalently – let W be the set of excessive functions of a Hunt process on a locally compact space X with countable base such that W separates points, every function in W is the supremum of its continuous minorants and there exist strictly positive continuous u, v ∈ W such that u/v → 0 at infinity. We suppose that there is a Green function G> 0 for X, a metric ρ on X and a decreasing function g: [0,∞) → (0,∞] having the doubling property and a mild upper decay at infinity such that G ≈ g ◦ ρ (which is equivalent to a 3G-inequality). Then the corresponding capacity for balls of radius R is bounded by a con-stant multiple of 1/g(R). Assuming that the constant function 1 is harmonic and the capacity of large balls satisfies a reverse estimate or that bounded functions are harmonic if and only if they are constant (Liouville property), it is proven that Wiener’s test at infinity shows, if a given set A in X is unavoidable, that is, if the process hits A with probability one, wherever it starts. An application yields that locally finite unions of pairwise disjoint balls B(z, rz), z ∈ Z, which have a certain separation property with respect to a suitable measure λ on X are unavoidable if and only if, for some/any point x0 ∈ X, the series z∈Z g(ρ(x0, z))/g(rz) diverges. The results generalize and, exploiting a zero-one law for hitting proba-bilities, simplify recent work by S. Gardiner and M. Ghergu, A. Mimica and Z. Vondraček, and the author.

研究动机与目标

• 将Wiener检验推广至balayage空间中的Hunt过程，以确定不可避免集。
• 以发散级数条件为依据，刻画局部有限个不相交球的并集何时为不可避免集。
• 推广并简化近期关于扩散过程命中概率的研究成果。
• 在容量与调和函数的背景下，建立命中概率的零一律。
• 统一在Liouville性质或反向容量估计成立时，使大集合成为不可避免集的条件。

提出的方法

• 采用满足 G ≈ g ◦ ρ 的Green函数 G，其中 ρ 为度量，g 为单调递减且具有双倍性质的函数，且其衰减速率受控。
• 应用容量估计，其中半径为 R 的球的容量被有界于 1/g(R) 的常数倍。
• 将3G不等式作为关键技术工具，以控制过度函数的行为。
• 利用 1 为调和函数或有界调和函数为常数（Liouville性质）的假设，推导全局命中行为。
• 应用命中概率的零一律，将问题简化为级数发散的判别条件。
• 分析在测度 λ 于 X 上相对下具有分离条件的不相交球并集的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Hunt过程中，给定集合 A 在何种条件下是不可避免的，即从任意起点以概率1被命中？
• RQ2 如何将Wiener检验适配于一般Hunt过程（超越布朗运动）以刻画不可避免集？
• RQ3 决定不相交球并集是否为不可避免集的精确级数条件是什么？
• RQ4 g 的双倍性质与衰减速率如何影响容量与命中概率？
• RQ5 在何种情况下，Liouville性质或反向容量估计可推出大集合为不可避免集？

主要发现

• 局部有限个两两不相交的球 B(z, rz) 的并集是不可避免集，当且仅当对某个/任意 x₀ ∈ X，级数 ∑_{z∈Z} g(ρ(x₀,z))/g(rz) 发散。
• 半径为 R 的球的容量被有界于 1/g(R) 的常数倍，从而将几何与概率性质联系起来。
• 在假设 1 为调和函数且大球容量满足反向估计的条件下，无穷远处的Wiener检验可刻画不可避免集。
• 本研究结果推广并简化了Gardiner、Ghergu、Mimica 与 Vondraček 近期关于命中概率的研究成果。
• 命中概率的零一律在将问题简化为级数发散条件的过程中起到了关键作用。
• 在 g 的双倍性质与 G ≈ g ◦ ρ 的等价关系下，可保证 3G 不等式的有效性，并支持证明中所用容量估计的成立。