[论文解读] Unbalanced Random Matching Markets with Partial Preferences

Aditya Potukuchi, Shikha Singh|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2024

Game Theory and Voting Systems被引用 1

一句话总结

该论文通过证明在具有部分偏好的非平衡市场中，当每个代理人的偏好列表长度 d 满足 d = Θ(ln²n) 时，稳定匹配以高概率为完美匹配，从而解决了随机匹配市场中长期存在的开放性问题；在平衡市场中，d = Θ(ln²n)，在具有非平衡度 α 的非平衡市场中，d = Θ(ln n · ln((1+α)/(α+1/(n(α+1)))))。作者通过在随机部分偏好下对延迟接受算法进行概率分析，建立了精确的阈值，解决了 Kanoria 等人（2021）的猜想。

ABSTRACT

Properties of stable matchings in the popular random-matching-market model have been studied for over 50 years. In a random matching market, each agent has complete preferences drawn uniformly and independently at random. Wilson (1972), Knuth (1976) and Pittel (1989) proved that in balanced random matching markets, the proposers are matched to their $\ln n$th choice on average. In this paper, we consider markets where agents have partial (truncated) preferences, that is, the proposers only rank their top $d$ partners. Despite the long history of the problem, the following fundamental question remained unanswered: \emph{what is the smallest value of $d$ that results in a perfect stable matching with high probability?} In this paper, we answer this question exactly -- we prove that a degree of $\ln^2 n$ is necessary and sufficient. That is, we show that if $d < (1-ε) \ln^2 n$ then no stable matching is perfect and if $d > (1+ ε) \ln^2 n$, then every stable matching is perfect with high probability. This settles a recent conjecture by Kanoria, Min and Qian (2021). We generalize this threshold for unbalanced markets: we consider a matching market with $n$ agents on the shorter side and $n(α+1)$ agents on the longer side. We show that for markets with $α=o(1)$, the sharp threshold characterizing the existence of perfect stable matching occurs when $d$ is $\ln n \cdot \ln \left(\frac{1 + α}{α+ (1/n(α+1))} ight)$. Finally, we extend the line of work studying the effect of imbalance on the expected rank of the proposers (termed the ``stark effect of competition''). We establish the regime in unbalanced markets that forces this stark effect to take shape in markets with partial preferences.

研究动机与目标

• 解决根本性开放问题：在随机匹配市场中，部分偏好长度为 d 的最小值是多少，才能以高概率保证完美稳定匹配？
• 将先前关于具有完全偏好列表的平衡市场的结果，扩展到具有部分偏好列表的非平衡市场。
• 量化‘竞争的强烈效应’——即增加非平衡度如何降低提议者所获得的稳定匹配质量。
• 对分离完美稳定匹配存在性与非存在性的阈值 d0 提供紧致的渐近界。
• 将经典的延迟接受算法分析推广至部分偏好列表和非平衡市场规模的情形。

提出的方法

• 形式化一个两阶段匹配市场，其中包含 n(α+1) 名候选人和 n 个职位，每个代理人在一个随机的二分 Erdős–Rényi 图中，对其邻居集合中的对象，以均匀随机方式生成长度为 d 的偏好列表。
• 使用日本比例延迟接受（JPDA）算法作为概率模型，分析提议动态和未匹配概率。
• 通过将 JPDA 过程与球入箱过程进行随机耦合，以界定期望提议次数和未匹配代理人数。
• 利用集中不等式和条件期望，推导出期望提议次数的上下界。
• 通过参数 d=1 的概率博弈模型，分析拒绝链和提议成功概率，以界定失败概率。
• 利用对称性和耦合论证，将候选人收到的提议数量与他们稳定匹配伙伴的期望排名关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有部分偏好的随机匹配市场中，确保以高概率实现完美稳定匹配的最小偏好列表长度 d 是多少？
• RQ2 市场非平衡度（α > 0）如何影响完美稳定匹配存在的阈值 d0？
• RQ3 在具有部分偏好的非平衡市场中，完美匹配是否存在精确阈值？若存在，其渐近形式为何？
• RQ4 增加竞争（即非平衡度提升）如何影响提议者所能获得的最佳稳定匹配伙伴的期望排名？
• RQ5 能否量化‘竞争的强烈效应’——即在具有部分偏好的市场中，竞争加剧如何降低提议者的匹配结果？

主要发现

• 在平衡市场中（α = 0），当且仅当 d > (1+ε)ln²n 时，完美稳定匹配以高概率存在；当 d < (1−ε)ln²n 时，完美匹配以高概率不存在。
• 在 α = o(1) 的非平衡市场中，完美稳定匹配的精确阈值为 d0 = ln n · ln((1+α)/(α + 1/(n(α+1))))
• 候选人所能获得的最佳稳定匹配伙伴的期望排名至少为 (1−o(1))·d / ln((1+α)/(α + 1/(n(α+1))))
• 任何职位在 JPDA 结束时仍处于未匹配状态的概率至多为 1/n^{1+γ/2}，意味着未匹配职位的期望数量为 o(1)。
• JPDA 算法中期望提议次数被限制在 O(m·ln((1+α)/(α+1/m))) 范围内，其中 m = n(1+α)，表明结果具有紧密集中性。
• 研究结果解决了 Kanoria 等人（2021）的猜想，证明即使在多项式级别小的非平衡度下，d = Θ(ln²n) 依然是阈值。