[论文解读] Unbounded Induced Representations of *-Algebras

Yu. Savchuk, Konrad Schmuedgen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文利用条件期望与正性条件，发展了对具有交换单位元分量的群分次 $*$-代数的无界诱导 $*$-表示的理论。重点研究了完整的Mackey理论，证明了两个版本的不变量定理，并表明具有良好性质的表示是循环表示的直和，且在诱导下封闭。理论在Weyl代数、$su(2)$、$su(1,1)$、Virasoro代数及动力系统中得到详细应用。

ABSTRACT

Induced representations of $\ast$-algebras by unbounded operators in Hilbert space are investigated. Conditional expectations of a $\ast$-algebra $\cA$ onto a unital $\ast$-subalgebra $\cB$ are introduced and used to define inner products on the corresponding induced modules. The main part of the paper is concerned with group graded $\ast$-algebras $\cA=\oplus_{g\in G}\cA_g$ for which the *-subalgebra $\cB:=\cA_e$ is commutative. Then the canonical projection $p:\cA o\cB$ is a conditional expectation and there is a partial action of the group $G$ on the set $\cBp$ of all characters of $\cB$ which are nonnegative on the cone $\sum\cA^2\cap\cB.$ The complete Mackey theory is developed for $\ast$-representations of $\cA$ which are induced from characters of $\cBp.$ Systems of imprimitivity are defined and two versions of the imprimitivity theorem are proved in this context. A concept is well-behaved $\ast$-representations of such $\ast$-algebras $\cA$ is introduced and studied. It is shown that well-behaved representations are direct sums of cyclic well-behaved representations and that induced representations of well-behaved representations are again well-behaved. The theory applies to a large variety of examples. For important examples such as the Weyl algebra, enveloping algebras of the Lie algebras $su(2),$ $su(1,1)$, and of the Virasoro algebra, and $\ast$-algebras generated by dynamical systems our theory is carried out in great detail.

研究动机与目标

• 为复单位 $*$-代数系统地发展无界诱导 $*$-表示理论，超越 $C^*$-代数框架。
• 通过引入一种新的条件期望概念，解决一般 $*$-代数中正性问题，该概念在锥 $\sum \mathcal{A}^2 \cap \mathcal{B}$ 上保持正性。
• 为从交换 $*$-子代数 $\mathcal{B}$ 的正锥上特征诱导的 $*$-表示建立完整的Mackey型理论。
• 引入并研究具有良好性质的 $*$-表示概念，证明其为循环表示的直和，且在诱导下封闭。
• 将理论应用于关键例子，包括Weyl代数、$su(2)$、$su(1,1)$、Virasoro代数，以及动力系统中的 $*$-代数。

提出的方法

• 将条件期望 $p: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 定义为满足 $p(\sum \mathcal{A}^2) \subseteq \mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$ 的 $\mathcal{B}$-线性、$*$-保号、单位元投影，以确保正性兼容性。
• 通过 $\langle a_1 \otimes v_1, a_2 \otimes v_2 \rangle_0 := \langle p(a_2^*a_1)v_1, v_2 \rangle$ 构造诱导模 $\mathcal{A} \otimes_\mathcal{B} V$ 上的内积，实现希尔伯特空间完备化。
• 将 $\widehat{\mathcal{B}}^+$ 定义为在 $\mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$ 上非负的 $\mathcal{B}$ 上特征的集合，作为诱导表示的定义域。
• 引入 $G$ 在 $\widehat{\mathcal{B}}^+$ 上的偏群作用，将经典Mackey机制推广至无界算子与非 $C^*$-代数设定。
• 通过在 $L^2(\widehat{\mathcal{B}}^+, \mu)$ 上构造 $\mathcal{A}$-模结构并以酉算子实现系统不变量，证明两个版本的不变量定理。
• 利用谱理论将 $\mathcal{B}$ 的可积 $*$-表示 $\pi$ 与支撑于 $\widehat{\mathcal{B}}^+$ 上的谱测度 $E_\pi$ 关联，确保算子的正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准 $C^*$-代数技术失效时，如何在希尔伯特空间中为无界算子定义诱导 $*$-表示？
• RQ2 在一般 $*$-代数中，何种条件期望概念能保持正性并支持诱导模上的内积构造？
• RQ3 如何将Mackey的诱导表示理论与不变量定理推广至群分次 $*$-代数的无界表示？
• RQ4 何种条件可确保 $*$-表示具有良好性质，且该类表示在诱导与直和下如何表现？
• RQ5 在Weyl代数与Virasoro代数等关键例子中，具有良好性质表示的诱导表示如何与不可约表示相关联？

主要发现

• 当 $\mathcal{A}$ 为群分次且 $\mathcal{B}$ 为交换时，自然投影 $p: \mathcal{A} \to \mathcal{B} = \mathcal{A}_e$ 是条件期望，从而可构造诱导表示。
• 从 $\widehat{\mathcal{B}}^+$ 中的特征（在 $\mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$ 上非负）诱导的表示是良好定义的，并在诱导模上产生正定内积。
• 定义了系统不变量，并证明了两个版本的不变量定理，建立了诱导表示与 $L^2(\widehat{\mathcal{B}}^+, \mu)$ 上协变表示之间的等价性。
• 每个具有良好性质的 $\mathcal{A}$-$*$-表示均为循环良好表示的直和，且良好表示的诱导表示仍具有良好性质。
• 与 $\mathcal{B}$ 的可积 $*$-表示 $\pi$ 关联的谱测度 $E_\pi$ 支撑于 $\widehat{\mathcal{B}}^+$ 上，确保 $\pi(b)$ 对所有 $b \in \mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$ 为正，这对理论至关重要。