[论文解读] Unbounded loops in quantum programs: categories and weak while loops

Pablo Andrés-Martí­nez|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种使用迹张量范畴的无界量子循环的范畴框架，并引入了$κ$-while循环，这是一种经典控制的量子循环，通过调节测量强度来保持量子加速。它证明了执行公式作为有限和无限维希尔伯特空间中的范畴迹，实现了相干量子迭代和基于弱测量的循环控制。

ABSTRACT

Control flow of quantum programs is often divided into two different classes: classical and quantum. Quantum programs with classical control flow have their conditional branching determined by the classical outcome of measurements, and these collapse quantum data. Conversely, quantum control flow is coherent, i.e. it does not perturb quantum data; quantum walk-based algorithms are practical examples where coherent quantum feedback plays a major role. This dissertation has two main contributions: (i) a categorical study of coherent quantum iteration and (ii) the introduction of weak while loops. (i) The objective is to endow categories of quantum processes with a traced monoidal structure capable of modelling iterative quantum loops. To this end, the trace of a morphism is calculated via the execution formula, which adds up the contribution of all possible paths of the control flow. Haghverdi's unique decomposition categories are generalised to admit additive inverses and equipped with convergence criteria using basic topology. In this setting, it is possible to prove the validity of the execution formula as a categorical trace on certain categories of quantum processes. (ii) A weak while loop is a classical control flow primitive that offers a trade-off between the collapse caused on each iteration and the amount of information gained. The trade-off may be adjusted by tuning a parameter and, in certain situations, it is possible to set its value so that we may control the algorithm without sacrificing its quantum speed-up. As an example, it is shown that Grover's search problem can be implemented using a weak while loop, maintaining the same time complexity as the standard Grover's algorithm (as previously shown by Mizel).

研究动机与目标

• 开发基于量子过程范畴中迹张量结构的相干量子迭代的范畴基础。
• 将Haghverdi的分解范畴推广至包含加法逆元，并通过拓扑学方法定义收敛性标准。
• 引入$κ$-while循环作为经典控制的循环，以平衡测量坍缩与信息获取。
• 证明通过调节测量强度$κ$，可在无界循环中保持量子加速。
• 使用函子构造和CPTR范畴中的同构关系，为弱while循环提供指称语义。

提出的方法

• 将唯一分解范畴推广至包含加法逆元，并使用拓扑标准定义收敛性。
• 使用执行公式将态射的迹计算为所有控制流路径之和。
• 通过从$σ$-幺半群到CPTR的函子$F$构造$κ$-while循环，使用同构$h$和典范包含$\theta, \phi$。
• 定义$\mathrm{Wk}_{\kappa,Q}(\mathcal{C})$为$\mathbf{CPTR}$中的态射，表达式为$\phi \circ F(h \circ E_{\kappa,Q}) \circ (\mathcal{C} \otimes \mathrm{id}) \circ F(h^{-1}) \circ \theta$。
• 通过拟投影$\pi_{\bot}, \pi_{\top}$和嵌入$\iota_{\bot}, \iota_{\top}$表示循环作用的矩阵分解。
• 通过傅里叶分解和时间平移不变性，证明$(\mathbf{LSI}_{\leq}, \oplus, \mathrm{ex})$是完全迹的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有限和无限维希尔伯特空间中，使用范畴迹结构对无界量子循环进行形式化建模？
• RQ2 如何设计一种经典控制的循环，以最小化测量引起的坍缩，同时保持量子加速？
• RQ3 在弱while循环中，什么条件能确保迭代次数以高概率有界？
• RQ4 是否可能为时间平移不变系统中的相干量子反馈定义范畴迹？
• RQ5 能否使用$κ$-while循环实现与标准算法时间复杂度相同的Grover搜索？

主要发现

• 在有限维希尔伯特空间上的量子过程范畴中，执行公式被证明作为范畴迹有效。
• 通过傅里叶分解，证明了离散时间上的时间平移不变量子过程范畴是完全迹的。
• $κ$-while循环通过函子构造被形式化定义，将循环主体$\mathcal{C}$映射到$\mathbf{CPTR}$中的弱测量对应物。
• 当使用最优测量强度$\kappa$时，该循环的实现时间复杂度与标准Grover算法相同。
• 提供了充分条件，以任意高概率估计最坏情况下的迭代次数。
• 通过调节$\kappa$以平衡测量坍缩与信息获取，该构造确保了量子加速的保持。