[论文解读] Unbounded order convergence in dual spaces

Niushan Gao|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究了巴拿赫格序空间对偶空间中的无界序（uo）收敛性，证明了在 $X^*$ 中，若一个范数有界的 uo-收敛网，则其当且仅当 $X$ 具有序连续范数时为 $w^*$-收敛。此外，还证明了 $w^*$-收敛网在 $X^*$ 中为 uo-收敛当且仅当 $X$ 是具有序连续范数的原子空间，并刻画了何时 uo-收敛与 $w^*$-收敛同时成立可推出弱收敛或范数收敛。

ABSTRACT

A net $(x_α)$ in a vector lattice $X$ is said to be {unbounded order convergent} (or uo-convergent, for short) to $x\in X$ if the net $(\abs{x_α-x}\wedge y)$ converges to 0 in order for all $y\in X_+$. In this paper, we study unbounded order convergence in dual spaces of Banach lattices. Let $X$ be a Banach lattice. We prove that every norm bounded uo-convergent net in $X^*$ is $w^*$-convergent iff $X$ has order continuous norm, and that every $w^*$-convergent net in $X^*$ is uo-convergent iff $X$ is atomic with order continuous norm. We also characterize among $σ$-order complete Banach lattices the spaces in whose dual space every simultaneously uo- and $w^*$-convergent sequence converges weakly/in norm.

研究动机与目标

• 刻画巴拿赫格序空间 $X$，使得 $X^*$ 中的 uo-收敛蕴含 $w^*$-收敛，尤其关注范数有界的网。
• 确定在何种条件下 $X^*$ 中的 $w^*$-收敛蕴含 uo-收敛，特别关注原子空间与序连续范数的情形。
• 识别在何种条件下 $X^*$ 中的序列同时 uo-收敛与 $w^*$-收敛可推出弱收敛或范数收敛，重点研究 $\sigma$-序完备空间。
• 探讨 uo-收敛作为研究巴拿赫格序空间几何性质的工具，特别是通过对偶性与收敛性相互作用。

提出的方法

• 使用 uo-收敛的定义：$x_\alpha \xrightarrow{uo} x$ 当且仅当对所有 $y \in X_+$，有 $|x_\alpha - x| \wedge y \xrightarrow{o} 0$。
• 应用关于离散序列及其在原子空间与 $\sigma$-序完备向量格中的 uo-收敛的已知结果。
• 利用正格罗滕迪克性质与对偶正舒尔性质，将 $X^*$ 中的 $w^*$-零性与范数零性联系起来。
• 利用在序连续性与原子性条件下，$X^*$ 中 $w^*$-收敛与 uo-收敛等价的事实。
• 利用 $X^*$ 具有序连续范数当且仅当 $X$ 具有序连续范数的等价关系，并在证明中应用狄尼定理与格罗滕迪克定理。
• 应用嵌入定理（如嵌入到 $\mathbb{R}^A$）与理想理论，将问题约化为函数格中的逐点收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $X^*$ 中，何时范数有界的网的 uo-收敛蕴含 $w^*$-收敛？
• RQ2 在 $X^*$ 中，何时 $w^*$-收敛蕴含 uo-收敛？
• RQ3 在何种 $X$ 的条件下，$X^*$ 中同时 uo-与 $w^*$-收敛的序列可推出弱收敛或范数收敛？
• RQ4 在 $X^*$ 中，uo-收敛如何与反射性及正格罗滕迪克性质等几何性质相关联？
• RQ5 $\sigma$-序完备性在 $X^*$ 中收敛类型等价性中起何种作用？

主要发现

• 在 $X^*$ 中，一个范数有界的网 $(x_\alpha^*)$ 为 $w^*$-收敛当且仅当其为 uo-收敛，当且仅当 $X$ 具有序连续范数。
• $X^*$ 中的 $w^*$-收敛网为 uo-收敛当且仅当 $X$ 是具有有序连续范数的原子空间。
• 对于 $\sigma$-序完备的 $X$，$X^*$ 中序列同时 uo-与 $w^*$-收敛当且仅当 $X$ 具有对偶正舒尔性质时，可推出范数收敛。
• 在有序连续的巴拿赫格序空间中，$X^*$ 中范数有界的网同时 uo-与 $w^*$-收敛当且仅当 $X$ 具有正格罗滕迪克性质时，可推出弱收敛。
• 在有序连续的巴拿赫格序空间中，$X$ 的正格罗滕迪克性质等价于 $X$ 的反射性。
• 通过 uo-收敛，建立了有序连续巴拿赫格序空间中正格罗滕迪克性质与反射性的等价性，提供了一种利用对偶性与收敛性相互作用的新证明方法。