[论文解读] Uncertainty and Complementarity Relations in Weak Measurement

Arun Kumar Pati, Junde Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用 3

一句话总结

该论文通过定义其期望值可给出弱值的非厄米算符，为非对易可观测量的弱值建立了新的不确定性关系，从而实现了基于方差的非平凡不确定性界。此外，论文进一步证明了一种类互补性关系，表明两个非对易投影算符的弱值乘积始终被限制在1以内，即使单个弱值可能很大或为复数。

ABSTRACT

We prove uncertainty relations that quantitatively express the impossibility of jointly sharp preparation of pre- and post-selected quantum states for measuring incompatible observables during the weak measurement. By defining a suitable operator whose average in the pre-selected quantum state gives the weak value, we show that one can have new uncertainty relations for variances of two such operators corresponding to two non-commuting observables. These generalize the recent stronger uncertainty relations that give non-trivial lower bounds for the sum of variances of two observables which fully capture the concept of incompatible observables. Furthermore, we show that weak values for two non-commuting projection operators obey a complementarity relation. Specifically, we show that for a pre-selected state if we measure a projector corresponding to an observable $A$ weakly followed by the strong measurement of another observable $B$ (for the post-selection) and, for the same pre-selected state we measure a projector corresponding to an observable $B$ weakly followed by the strong measurement of the observable $A$ (for the post-selection), then the product of these two weak values is always less than one. This shows that even though individually they are complex and can be large, their product is always bounded.

研究动机与目标

• 解决在弱测量过程中，预选与后选量子系综中联合精确制备时缺乏不确定性关系的问题。
• 为期望值可给出弱值的非厄米算符定义方差，从而实现有意义的不确定性量化。
• 将更强的不确定性关系从罗伯逊形式推广至弱测量情境，以捕捉不相容性。
• 建立非对易投影算符弱值之间的互补性关系，表明其乘积具有普遍有界性。

提出的方法

• 定义一个非厄米算符，其在预选态中的期望值可给出给定可观测量的弱值。
• 制定此类非厄米算符的方差，以基于方差之和构建不确定性关系。
• 推导出新的不确定性关系，为不相容可观测量提供非平凡的下界，推广了近期更强的不确定性关系。
• 分析预选态中两个非对易可观测量 A 和 B 的投影算符的弱值。
• 证明弱值 ⟨Π_A⟩_w 和 ⟨Π_B⟩_w（测量顺序相反）的乘积始终 ≤ 1。
• 通过显式波函数积分，在有限维与无限维希尔伯特空间中验证该互补性关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为预选与后选系综中两个不相容可观测量的弱值构建非平凡的不确定性关系？
• RQ2 如何为期望值可给出弱值的非厄米算符有意义地定义方差？
• RQ3 尽管弱值可能很大或为复数，非对易投影算符的弱值是否仍服从普遍有界性？
• RQ4 在弱测量中，互斥量子特征的弱值之间是否存在互补性关系？
• RQ5 新不确定性关系是否比罗伯逊或海森堡形式更有效地捕捉可观测量的不相容性？

主要发现

• 作者构造了其在预选态中期望值可给出弱值的非厄米算符，从而实现了基于方差的不确定性关系。
• 新不确定性关系为弱值方差之和提供了非平凡的下界，推广了超越罗伯逊形式的更强不确定性关系。
• 对于两个非对易的投影算符，其弱值乘积——以相反顺序测量——满足 |⟨Π_A⟩_w⟨Π_B⟩_w| ≤ 1，确立了普遍的互补性关系。
• 该互补性关系在有限维与无限维希尔伯特空间中均成立，揭示了不相容投影算符弱值的根本有界性。
• 在特定情况下（如后选为动量或位置本征态）该界被饱和，此时 ⟨Π_Δx⟩_w⟨Π_Δp⟩_w = 1。
• 结果表明，尽管单个弱值可能很大或为复数，其乘积仍受约束，揭示了弱测量中深层次的结构特征。