[论文解读] Uncertainty principles for orthonormal bases

Philippe Jaming|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2006

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文对调和分析中的不确定性原理进行了全面综述，重点关注正交基及其时频局域化特性。研究证明，任意正交基中函数的展Brook和其傅里叶变换的展Brook至少以与Hermite基相同的速度增长，从而对H. Shapiro未发表的结果进行了定量改进。此外，该研究将Benedicks的不确定性原理与Schrödinger方程解的能量耗散联系起来。

ABSTRACT

In this survey, we present various forms of the uncertainty principle (Hardy, Heisenberg, Benedicks). We further give a new interpretation of the uncertainty principles as a statement about the time-frequency localization of elements of an orthonormal basis, which improves previous unpublished results of H. Shapiro. Finally, we show that Benedicks' result implies that solutions of the Shrödinger equation have some (appearently unnoticed) energy dissipation property.

研究动机与目标

• 统一并扩展各种不确定性原理的表述形式，包括Hardy定理、海森堡不确定性原理和Benedicks定理。
• 为正交基提供时频局域化的定量表征，改进H. Shapiro未发表的结果。
• 证明Benedicks不确定性原理可推出Schrödinger方程解在紧支集初值条件下的非平凡能量耗散性质。
• 将经典不确定性原理重新表述为热方程和Schrödinger方程的解，揭示其新的动力学解释。

提出的方法

• 利用Hermite算子的谱理论证明并改进海森堡不确定性原理，表明Hermite函数最小化时频展Brook。
• 应用Hermite算子的谱分解，推导任意正交基下展Brook乘积的下界。
• 运用零化对和强零化对的理论，控制解在有限测度集外的$L^2$-范数。
• 通过自由热方程和Schrödinger方程的解重新表述不确定性原理，采用傅里叶乘子表示。
• 应用Delsarte、Landau和Slepian关于能量集中和局部不确定性结果，界定被$L^2$-函数支配的正交序列中函数数量的上界。
• 利用Hardy定理及Demange的证明技巧分析衰减率，刻画具有高斯型衰减特性的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时频局域化方面，任意正交基中函数的展Brook与Hermite基相比如何？
• RQ2 正交基的展Brook最小可能增长速率是多少？这与不确定性原理有何关联？
• RQ3 Benedicks不确定性原理能否用于推导Schrödinger方程解的动力学能量耗散性质？
• RQ4 在何种条件下，正交序列可被单个$L^2$-函数几乎处处控制？此类函数最多有多少个？
• RQ5 不确定性原理在热方程和Schrödinger方程解的演化过程中如何体现？

主要发现

• 在$L^2(\mathbb{R})$中，任意正交基的展Brook至少以与Hermite基相同的速度增长，且仅当该基为Hermite基时等号成立。
• 若正交序列$(f_k)$满足几乎处处有$|f_k(x)| \leq g(x)$，其中$g \in L^2(\mathbb{R})$，则该序列有限，且$\#I \leq 3^{8(20C/\sqrt{2p-1})^{4/(2p-1)}}$，其中$C = \|g\|_{L^p}$。
• 当$p > 3/2$时，此类函数的数量上界为$4(800C^2/(2p-1))^{2/(2p-3)}$；当$1 < p \leq 3/2$时，上界为$32(20C)^{2/(2p-3)}$。
• 初值在有限测度集上紧支的Schrödinger方程解，在任意有限测度集外均表现出能量耗散，这是Benedicks定理的直接推论。
• 若$\widehat{v_0}$在$[-a,a]$上支集，则$\|v(\cdot,t)\|_{L^2(\mathbb{R} \setminus S)} \geq D(S,[-a,a]) e^{-\pi a^2 t} \|v_0\|_{L^2}$，表明能量持续扩散。
• 对于强零化对$(S,\Sigma)$，解在$S$外的$L^2$-范数有下界$D(S,\Sigma) \|v_0\|_{L^2}$，意味着不存在有限时间局域化。