[论文解读] Uncertainty quantification for hyperbolic conservation laws with flux coefficients given by spatiotemporal random fields

Andrea Barth, Franz Fuchs|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文提出一种蒙特卡洛有限体积方法，用于在通量系数被建模为时空随机场的双曲守恒律中进行不确定性量化，其中空间部分采用相关高斯随机场，时间部分采用奥恩斯坦-乌伦贝克过程。该方法能够稳健计算解的统计矩，通过在磁感应和线性声学中的应用得到验证，展示了收敛性，并捕捉到均值和方差中的复杂解结构。

ABSTRACT

In this paper hyperbolic partial differential equations with random coefficients are discussed. We consider the challenging problem of flux functions with coefficients modeled by spatiotemporal random fields. Those fields are given by correlated Gaussian random fields in space and Ornstein-Uhlenbeck processes in time. The resulting system of equations consists of a stochastic differential equation for each random parameter coupled to the hyperbolic conservation law. We define an appropriate solution concept in his setting and analyze errors and convergence of discretization methods. A novel discretization framework, based on Monte Carlo Finite Volume methods, is presented for the robust computation of moments of solutions to those random hyperbolic partial differential equations. We showcase the approach on two examples which appear in applications: The magnetic induction equation and linear acoustics, both with a spatiotemporal random background velocity field.

研究动机与目标

• 解决双曲守恒律中通量系数被建模为时空依赖随机场时的不确定性量化挑战。
• 为描述随机参数的双曲PDE与随机微分方程（SDE）的耦合系统开发一种解概念。
• 提供一种非侵入式、鲁棒的数值框架，用于计算解的统计矩（均值和方差），且无需随机变量具有高正则性。
• 在物理相关问题上验证该方法：磁感应方程和具有随机背景速度场的线性声学。
• 在随机双曲系统的背景下，建立所提出离散化方案的收敛性和误差行为。

提出的方法

• 将通量系数建模为时空随机场，其中空间分量为相关高斯随机场，时间分量为奥恩斯坦-乌伦贝克SDE的解。
• 将耦合系统表述为具有随机通量函数的双曲守恒律，其中每个系数通过由时空噪声驱动的SDE演化。
• 实施蒙特卡洛有限体积（MC FV）框架：对随机场进行实现实例采样，对每个样本使用一阶稳定迎风格式求解确定性双曲PDE。
• 通过M个蒙特卡洛样本的集合平均近似解的统计矩（均值和方差）。
• 对控制速度场的奥恩斯坦-乌伦贝克过程采用米尔斯坦格式进行时间离散化。
• 对磁感应方程应用周期性边界条件和散度为零的初始条件，以确保模拟的物理一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为由时空随机场驱动的通量系数的双曲守恒律定义一致的解概念？
• RQ2 当应用于此类随机双曲系统时，蒙特卡洛有限体积方法的收敛行为如何？
• RQ3 在物理应用中，随机背景速度场下解的统计矩（均值和方差）如何演化？
• RQ4 所提出的方法能否有效处理解在随机参数上缺乏正则性的问题，避免gPC和配置方法的局限性？
• RQ5 在磁感应和声学等系统中，由于随机对流作用，解的方差中会涌现出何种结构特征？

主要发现

• 所提出的蒙特卡洛有限体积方法在第一和第二统计矩上均达到预期的收敛速率，其中第二矩表现出更大的误差常数。
• 均值解结构与单个确定性模拟的结果非常相似，表明集合均值能够捕捉主导的波传播行为。
• 解的方差表现出复杂且非平凡的空间结构，反映了随机速度场对波的畸变和对流的影响。
• 在256×256网格上，t=0.75时磁感应方程的数值结果清晰显示出初始磁场因随机速度场而产生的对流和畸变。
• 该方法具有鲁棒性和非侵入性，避免了广义多项式混沌等侵入式方法的高复杂度，适用于随机参数正则性较低的问题。
• 该框架可扩展至三维问题及更复杂的SDE或SPDE随机场模型，未来计划实现GPU加速的多重网格求解器以提升效率。