[论文解读] Uncertainty quantification in geostatistical approach to inverse problems

Arvind K. Saibaba, Peter K. Kitanidis|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Soil Geostatistics and Mapping被引用 1

一句话总结

本文提出了一种在地统计反演问题中对后验协方差矩阵进行高效低秩近似的算法，实现了可扩展的不确定性量化。通过将后验协方差表示为先验协方差与由海塞矩阵和逆协方差的主导广义特征模式导出的低秩更新之和，该方法将计算成本降低至 𝒪(m log m)，且与参数维度无关，在合成层析成像问题中表现出高精度。

ABSTRACT

We consider the computational challenges associated with uncertainty quantification involved in parameter estimation such as seismic slowness and hydraulic transmissivity fields. The reconstruction of these parameters can be mathematically described as Inverse Problems which we tackle using the Geostatistical approach. The quantification of uncertainty in the Geostatistical approach involves computing the posterior covariance matrix which is prohibitively expensive to fully compute and store. We consider an efficient representation of the posterior covariance matrix at the maximum a posteriori (MAP) point as the sum of the prior covariance matrix and a low-rank update that contains information from the dominant generalized eigenmodes of the data misfit part of the Hessian and the inverse covariance matrix. The rank of the low-rank update is typically independent of the dimension of the unknown parameter. The cost of our method scales as $\bigO(m\log m)$ where $m $ dimension of unknown parameter vector space. Furthermore, we show how to efficiently compute measures of uncertainty that are based on scalar functions of the posterior covariance matrix. The performance of our algorithms is demonstrated by application to model problems in synthetic travel-time tomography and steady-state hydraulic tomography. We explore the accuracy of the posterior covariance on different experimental parameters and show that the cost of approximating the posterior covariance matrix depends on the problem size and is not sensitive to other experimental parameters.

研究动机与目标

• 解决在地统计反演问题中完全计算和存储后验协方差矩阵的计算不可行性。
• 实现对地震慢度和水力传导率场中大规模参数估计的可扩展不确定性量化。
• 开发一种后验协方差的低秩表示，以最小的计算开销捕捉主要的不确定性信息。
• 在合成层析成像问题中，通过不同实验参数验证该方法的准确性和效率。

提出的方法

• 将后验协方差矩阵近似为先验协方差矩阵与一个低秩更新矩阵的和。
• 低秩更新由数据拟合海塞矩阵和逆协方差矩阵的主导广义特征模式构建。
• 更新的秩通常与未知参数向量的维度无关，从而确保可扩展性。
• 该方法的计算成本呈 𝒪(m log m) 的标度，其中 m 为参数空间的维度。
• 利用低秩结构，可高效计算后验协方差的标量函数，如方差和置信区间。
• 该方法在合成走时层析成像和稳态水力层析成像问题上进行了验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不完全计算的情况下，高效地近似地统计反演问题中的后验协方差矩阵？
• RQ2 低秩近似在不同实验参数下对不确定性量化的准确性有何影响？
• RQ3 所提出方法的计算标度相对于问题规模和实验设置如何？
• RQ4 尽管采用低秩近似，该方法是否仍能保持方差和置信区间等不确定性度量的准确性？

主要发现

• 后验协方差矩阵的低秩近似实现了 𝒪(m log m) 的计算成本标度，且与参数维度无关。
• 低秩更新的秩保持较小，且对问题规模不敏感，从而实现了可扩展性。
• 在合成层析成像问题中，该方法在不同实验参数下均保持了高不确定性量化精度。
• 后验协方差的近似误差表现出稳健性，对实验设计的变化不敏感。
• 通过低秩结构，实现了对方差和置信区间等标量不确定性度量的高效计算。