[论文解读] Uncertainty Relations for Entangled States

Gustavo Rigolin|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通過對物理可觀測量施加對稱化規則，使其與置換算符對易，從而為糾纏粒子對提出了一種廣義的不確定性關係。該關係由總位置與總動量算符導出，顯示糾纏可能導致 $Δ Q_2 \Delta P_2 < \hbar/2$，從而挑戰金與施的Popper型實驗中條件測量的標準海森堡極限。

ABSTRACT

A generalized uncertainty relation for an entangled pair of particles is obtained if we impose a symmetrization rule for all operators that we should use when doing any calculation using the entangled wave function of the pair. This new relation reduces to Heisenberg's uncertainty relation when the particles have no correlation and suggests that we can have new lower bounds for the product of position and momentum dispersions.

研究动机与目标

• 為了解決金與施在糾纏光子實驗中出現的海森堡不確定性原理看似違反的問題。
• 解決將單粒子不確定性關係應用於糾纏系統時的不足，原因在於這些可觀測量與置換算符不對易。
• 基於與置換算符對易的物理可觀測量，建立新的不確定性關係，以確保與量子力學對稱化規則的一致性。
• 證明糾纏會引入量子協方差項，從而改變標準不確定性界限，允許不確定度乘積降低。
• 提供一個理論框架，用總體系統可觀測量而非單獨粒子算符來分析糾纏系統中的條件測量。

提出的方法

• 定義物理可觀測量為與系統中所有置換算符對易的算符，以確保與全同粒子的對稱化假設相容。
• 引入總位置 $Q(1,2) = Q(1)\otimes\mathcal{I}_2 + \mathcal{I}_1\otimes Q(2)$ 和總動量 $P(1,2) = P(1)\otimes\mathcal{I}_2 + \mathcal{I}_1\otimes P(2)$ 作為物理可觀測量，因為它們與置換算符 $P_{21}$ 對易。
• 僅使用物理可觀測量，推導出廣義不確定性關係：$(\Delta Q(1,2))^2(\Delta P(1,2))^2 \geq \frac{1}{4}|\langle [Q(1,2), P(1,2)] \rangle|^2 = \frac{\hbar^2}{4}$。
• 將不確定性關係以單獨粒子的方差與協方差表示：$(\Delta Q_1)^2 + (\Delta Q_2)^2 + 2(\langle Q_1 Q_2 \rangle - \langle Q_1 \rangle\langle Q_2 \rangle)$ 及類似形式的動量表達式，以捕捉糾纏效應。
• 將關係應用於對稱的糾纏一維波函數 $\Psi(x_1,x_2,0)$，其中 $k_1 + k_2 = 0$，計算得 $\langle x_1 x_2 \rangle = \frac{k_0^2 a^4}{2}$ 和 $\langle p_1 p_2 \rangle = -2\hbar^2 k_0^2$，以證明非零的量子協方差。
• 展示由於糾纏引起的協方差項，導致最終的不確定性界限（式8）與海森堡關係不同，進而允許 $\Delta Q_2 \Delta P_2 < \hbar/2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 金與施的糾纏光子實驗中，海森堡不確定性原理的看似違反是否可以不依賴非定域性或測量模糊化來解釋？
• RQ2 在將量子力學應用於全同粒子糾纏系統時，不確定性關係的正確形式為何？
• RQ3 對稱化規則與置換對稱性如何約束多體量子系統中物理可觀測量的選擇？
• RQ4 糾纏是否可能導致位置與動量不確定度乘積低於標準的 $\hbar/2$ 界限？
• RQ5 量子協方差函數 $\langle Q_1 Q_2 \rangle - \langle Q_1 \rangle\langle Q_2 \rangle$ 與 $\langle P_1 P_2 \rangle - \langle P_1 \rangle\langle P_2 \rangle$ 在糾纏態的不確定性關係中發揮何種作用？

主要发现

• 廣義不確定性關係是透過與置換算符 $P_{21}$ 對易的總系統可觀測量 $Q(1,2)$ 和 $P(1,2)$ 衍生而來，確保與量子力學對稱化的一致性。
• 所推導的關係（式8）明確包含了量子協方差項 $\langle Q_1 Q_2 \rangle - \langle Q_1 \rangle\langle Q_2 \rangle$ 與 $\langle P_1 P_2 \rangle - \langle P_1 \rangle\langle P_2 \rangle$，這些項僅在可分離（非糾纏）態時為零。
• 對於對稱糾纏波函數（式11），位置協方差為 $\langle x_1 x_2 \rangle = \frac{k_0^2 a^4}{2}$，動量協方差為 $\langle p_1 p_2 \rangle = -2\hbar^2 k_0^2$，確認了非零的糾纏效應。
• 該關係允許在條件測量中出現 $\Delta Q_2 \Delta P_2 < \frac{\hbar}{2}$，例如金與施實驗中的虛擬狹縫場景，其中透過與另一光子的符合來推斷光子的位置。
• 標準海森堡不確定性關係對糾纏系統無效，因為單獨粒子算符 $Q(i)$ 與 $P(i)$ 不與置換算符對易，因此不是物理可觀測量。
• 本文結論指出，糾纏引入了不確定度乘積的新下界，且此類態可具有最小的位置不確定度而不導致動量不確定度發散，從而挑戰了不確定性原理的傳統解釋。