[论文解读] Unconditional Quantum Advantage for Sampling with Shallow Circuits

Adam Bene Watts, Natalie Parham|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2023

Machine Learning and Algorithms被引用 3

一句话总结

该论文通过构建一个分布 Dn，实现了在浅层量子电路下采样任务的无条件量子优势。该分布 Dn 可被常数深度的量子电路高效采样，同时证明任何具有有界扇入的经典电路，若需使用 kn + nδ 个独立同分布的随机输入（熵为 1/k），则必须具有 Ω(log log n) 的深度才能在总变差距离内近似 Dn。该结果无条件成立，不依赖于复杂性理论的猜想，并可扩展至具有经典建议和无界随机输入的情形。

ABSTRACT

Recent work by Bravyi, Gosset, and Koenig showed that there exists a search problem that a constant-depth quantum circuit can solve, but that any constant-depth classical circuit with bounded fan-in cannot. They also pose the question: Can we achieve a similar proof of separation for an input-independent sampling task? In this paper, we show that the answer to this question is yes when the number of random input bits given to the classical circuit is bounded. We introduce a distribution $D_{n}$ over $\{0,1\}^n$ and construct a constant-depth uniform quantum circuit family $\{C_n\}_n$ such that $C_n$ samples from a distribution close to $D_{n}$ in total variation distance. For any $δ< 1$ we also prove, unconditionally, that any classical circuit with bounded fan-in gates that takes as input $kn + n^δ$ i.i.d. Bernouli random variables with entropy $1/k$ and produces output close to $D_{n}$ in total variation distance has depth $Ω(\log \log n)$. This gives an unconditional proof that constant-depth quantum circuits can sample from distributions that can't be reproduced by constant-depth bounded fan-in classical circuits, even up to additive error. We also show a similar separation between constant-depth quantum circuits with advice and classical circuits with bounded fan-in and fan-out, but access to an unbounded number of i.i.d random inputs. The distribution $D_n$ and classical circuit lower bounds are inspired by work of Viola, in which he shows a different (but related) distribution cannot be sampled from approximately by constant-depth bounded fan-in classical circuits.

研究动机与目标

• 建立常数深度量子电路与有界扇入经典电路在采样任务上的无条件分离。
• 构造一个定义在 {0,1}^n 上的分布 Dn，该分布可被常数深度的量子电路高效采样。
• 证明任何具有有界扇入且随机输入受限（kn + nδ 个独立同分布的伯努利变量，熵为 1/k）的经典电路，除非其深度达到 Ω(log log n)，否则无法在总变差距离内近似 Dn。
• 将该分离结果扩展至涉及经典建议和无界随机输入的情形。

提出的方法

• 基于 Viola 分布的一个变体，使用 p-修改的多数函数编码结构，构建 {0,1}^n 上的分布 Dn。
• 设计一个常数深度的统一量子电路族 {Cn}，使其在总变差距离下可采样到与 Dn 接近的分布。
• 利用熵和信息论界分析给定 Y-固定块时输出的条件熵，从而限制经典电路的表达能力。
• 应用偏置的伯努利随机变量，并使用 Fact 22（即 Fact 59）的修改版本，界定偏置变量的线性组合与模 p 下均匀分布之间的总变差距离。
• 引入“Y-固定”和“y-固定”块的概念，将经典电路的行为与量子采样保真度联系起来。
• 通过分析输出落在目标集 T 外的概率，结合集中与偏置感知的尾部界，证明经典电路深度的下限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在浅层量子电路下为采样任务建立无条件的量子优势？
• RQ2 是否存在一个分布 Dn，可被常数深度的量子电路高效采样，但无法被具有受限随机输入的有界扇入经典电路近似？
• RQ3 当经典电路仅获得 kn + nδ 个独立同分布的伯努利随机输入（熵为 1/k）时，其近似 Dn 所需的最小深度是多少？
• RQ4 该分离是否可扩展至经典电路可访问建议和无界独立同分布随机输入的情形？

主要发现

• 量子电路族 {Cn} 采样得到的分布与 Dn 的总变差距离为 O(1/log n)。
• 任何具有有界扇入且需使用 kn + nδ 个独立同分布的伯努利输入（熵为 1/k）的经典电路，若要在总变差距离内近似 Dn，则其深度必须达到 Ω(log log n)。
• 该下界无条件成立，不依赖于复杂性理论的猜想。
• 具有受限随机性的经典电路无法采样到目标集 T 的概率被限制在 1/2 + O(1/log n) 以内，从而确立了非平凡的优势。
• 该结果可扩展至具有建议和无界访问独立同分布随机输入的经典电路，表明存在类似的深度分离。
• 分析中使用了对总变差界（Fact 59）的改进版本，该版本考虑了偏置，从而能更精确地控制模运算中非均匀分布的情形。