[论文解读] Unconditional superconvergence analysis of a linearized Crank-Nicolson Galerkin FEM for generalized Ginzburg-Landau equation

Meng Li, Dongyang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2018

Numerical methods for differential equations被引用 3

一句话总结

本文针对广义Ginzburg-Landau方程（GLE）提出了一种无条件超收敛分析，采用线性化Crank-Nicolson Galerkin有限元法（FEM）。通过结合双线性单元的时间离散与时空离散格式，作者导出了最优误差估计：在$H^1$-范数下为$O(\tau^2 + h^2)$，并通过插值后处理实现全局超收敛，无需时间步长限制，证实了在大时间步长下仍具有鲁棒的收敛性。

ABSTRACT

In this paper, a linearized Crank-Nicolson Galerkin finite element method (FEM) for generalized Ginzburg-Landau equation (GLE) is considered, in which, the difference method in time and the standard Galerkin FEM are employed. Based on the linearized Crank-Nicolson difference method in time and the standard Galerkin finite element method with bilinear element in space, the time-discrete and space-time discrete systems are both constructed. We focus on a rigorous analysis and consideration of unconditional superconvergence error estimates of the discrete schemes. Firstly, by virtue of the temporal error results, the regularity for the time-discrete system is presented. Secondly, the classical Ritz projection is used to obtain the spatial error with order $O(h^2)$ in the sense of $L^2-$norm. Thanks to the relationship between the Ritz projection and the interpolated projection, the superclose estimate with order $O(τ^2 + h^2)$ in the sense of $H^1-$norm is derived. Thirdly, it follows from the interpolated postprocessing technique that the global superconvergence result is deduced. Finally, some numerical results are provided to confirm the theoretical analysis.

研究动机与目标

• 为广义Ginzburg-Landau方程（GLE）开发一种改进稳定性和收敛性的线性化Crank-Nicolson Galerkin FEM。
• 为离散格式建立无条件超收敛误差估计，消除非线性问题中常见的时间步长限制。
• 通过Ritz投影和插值后处理技术，严格分析时间与空间误差分量。
• 通过不同时间步长和网格尺寸下的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 在时间方向应用线性化Crank-Nicolson格式，解耦非线性项，避免迭代求解器。
• 在空间方向采用标准Galerkin FEM与双线性有限元，形成全离散系统。
• 利用Ritz投影算子$R_h$，在$L^2$-范数下导出空间误差估计$O(h^2)$。
• Ritz投影与插值算子$I_h$之间的关系使得在$H^1$-范数下获得$O(\tau^2 + h^2)$的超接近估计。
• 通过$I_{2h}^2$的插值后处理技术，实现在$H^1$-范数下的全局超收敛。
• 采用时空误差分解技术，分离时间与空间误差，实现无需网格比约束的无条件分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否针对广义Ginzburg-Landau方程，利用线性化Crank-Nicolson Galerkin FEM实现无条件超收敛？
• RQ2 在最优时间与空间离散化下，离散解在$H^1$-范数下的收敛速率是多少？
• RQ3 Ritz投影与插值后处理如何在无时间步长限制下实现超收敛？
• RQ4 该方法能否在大时间步长下保持稳定性和精度，如数值结果所示？

主要发现

• 时间误差在$H^2$-范数下被控制在$O(\tau^2)$，支持鲁棒的超收敛分析。
• 利用Ritz投影的空间误差在$L^2$-范数下达到$O(h^2)$的收敛率。
• 在$H^1$-范数下，离散解与Ritz投影之间导出了$O(\tau^2 + h^2)$的超接近估计。
• 插值后处理技术实现了全局超收敛，误差满足$\|u^n - I_{2h}^2 U_h^n\|_1 = O(\tau^2 + h^2)$。
• 数值结果证实了理论收敛速率，涵盖多个时间步长，包括大$\tau = 20h$，验证了无条件稳定性。
• 该方法在无需时间步长约束（如$\tau = O(h^d)$）的情况下实现了最优收敛率，展示了无条件超收敛。