[论文解读] Unconditionally $p$-converging operators and Dunford-Pettis Property of order $p$

Dongyang Chen, Javier Alejandro Chávez‐Domínguez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文引入并表征了无条件 $p$-收敛算子以及 $p$ 阶 Dunford-Pettis 性质，为这些概念建立了新的定量度量。它提出了六种等价范数，以量化算子偏离无条件 $p$-收敛的程度，并证明在特定条件下，该性质在二阶伴随算子下保持不变，从而将经典算子理论推广至 $p$-Banach 空间设定，并给出精确的定量估计。

ABSTRACT

In the present paper we study unconditionally $p$-converging operators and Dunford-Pettis property of order $p$. New characterizations of unconditionally $p$-converging operators and Dunford-Pettis property of order $p$ are established. Six quantities are defined to measure how far an operator is from being unconditionally $p$-converging. We prove quantitative versions of relationships of completely continuous operators,unconditionally $p$-converging operators and unconditionally converging operators. We further investigate possible quantifications of the Dunford-Pettis property of order $p$.

研究动机与目标

• 定义并表征无条件 $p$-收敛算子，作为完全连续算子和无条件收敛算子的推广。
• 引入并研究 $p$ 阶 Dunford-Pettis 性质（$DPP_p$）及其遗传性与满射变体。
• 为算子无条件 $p$-收敛的程度发展六种等价的定量度量。
• 通过弱 $p$-柯西序列与弱 $p$-有界集，提供 $DPP_p$ 的拓扑与范数表征。
• 建立完全连续算子、无条件 $p$-收敛算子与无条件收敛算子之间定量关系。

提出的方法

• 引入无条件 $p$-可和序列空间 $l^u_p(X)$，并通过其在弱 $p$-可和序列上的作用来定义无条件 $p$-收敛算子。
• 定义六种新量 $uc_p^i(T)$，$i=1,\dots,6$，用于度量算子 $T$ 偏离无条件 $p$-收敛的程度。
• 利用 $σ(l_{p^*},l_p)$-连续算子与弱 $p$-可和序列之间的典范同构，将算子行为与序列性质关联。
• 在对偶空间上引入一种新的局部凸拓扑，通过弱 $p$-柯西序列的拓扑收敛来表征 $DPP_p$。
• 证明 $uc_p^6(T)$ 在 $p=1$ 时与 [20] 中定义的无条件收敛度量一致，从而与先前工作保持一致。
• 建立涉及弱 $^*$-宽度 $wk_{X^*}(A)$ 与新范数 $uc_p^i(T)$ 的条件等价性，证明经典定理的定量版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 算子无条件 $p$-收敛的充要条件是什么？该性质如何被定量度量？
• RQ2 Dunford-Pettis 性质的 $p$ 阶形式如何与对偶空间中的弱 $p$-柯西序列和弱 $p$-有界集相关联？
• RQ3 经典 Dunford-Pettis 性质能否推广至 $p$-Banach 空间设定？其对 $H^1$ 和 $Λ(W,1)$ 等经典空间有何影响？
• RQ4 算子的二阶伴随与其无条件 $p$-收敛性之间有何关系？在何种条件下，性质可从 $T$ 提升至 $T^{**}$？
• RQ5 六种新量 $uc_p^i(T)$ 与现有算子紧致性与收敛性度量相比如何？它们是否等价？

主要发现

• 对于 $i=1,\dots,6$，六种量 $uc_p^i(T)$ 相互等价，并为无条件 $p$-收敛算子提供了完整的定量表征。
• 当 $p=1$ 时，$uc_p^6(T)$ 与 [20] 中定义的无条件收敛度量一致，确立了与先前工作的连贯性。
• 对所有算子 $T: X \to Y$，不等式 $uc_p^6(T) \leq C \cdot wk_{X^*}(T^*)$ 成立，当且仅当 $X$ 具有常数为 $C$ 的定量 $DPP_p$。
• Banach 空间 $X$ 具有遗传性 $DPP_p$，当且仅当 $X$ 中每个弱 $p$-可和序列都存在一个弱 $1$-可和子序列。
• 若 $X^{**}$ 具有定量 $DPP_p$，则 $X$ 以受控常数继承该性质：条件 (1)–(5) 的常数为 $16C$，条件 (3) 的常数为 $C$。
• 对任意闭子空间 $X \subset Y$，不等式 $wk_Y(A) \leq wk_X(A) \leq 2wk_Y(A)$ 成立，这对从 $X^{**}$ 到 $X$ 传递 $DPP_p$ 性质至关重要。