[论文解读] Unconditionally stable exponential time differencing schemes for the mass-conserving Allen-Cahn equation with nonlocal and local effects

Kun Jiang, Lili Ju+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2021

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 39被引用 9

一句话总结

本文提出了一类无条件稳定的指数时间差分（ETD）格式，用于具有局部与非局部效应的质保Allen-Cahn方程。通过结合线性稳定化与ETD方法，作者构建了一阶与二阶时间积分格式，无条件地保持最大值界原理（MBP）与质量守恒，具有严格的误差估计，并在二维与三维中进行了广泛的数值验证。

ABSTRACT

It is well known that the classic Allen-Cahn equation satisfies the maximum bound principle (MBP), that is, the absolute value of its solution is uniformly bounded for all time by certain constant under suitable initial and boundary conditions. In this paper, we consider numerical solutions of the modified Allen-Cahn equation with a Lagrange multiplier of nonlocal and local effects, which not only shares the same MBP as the original Allen-Cahn equation but also conserves the mass exactly. We reformulate the model equation with a linear stabilizing technique, then construct first- and second-order exponential time differencing schemes for its time integration. We prove the unconditional MBP preservation and mass conservation of the proposed schemes in the time discrete sense and derive their error estimates under some regularity assumptions. Various numerical experiments in two and three dimensions are also conducted to verify the theoretical results.

研究动机与目标

• 开发无条件稳定的时序积分格式，用于质量守恒Allen-Cahn方程，同时保持最大值界原理（MBP）与质量守恒。
• 解决在相场模型长时间模拟中保持物理与数学结构——特别是有界性与质量守恒——的挑战。
• 将现有ETD格式扩展至处理为实现精确质量守恒所需的非局部拉格朗日乘子项，同时保持稳定性与精度。
• 在解与数值格式的适当正则性假设下，提供严格的误差估计，并在二维与三维空间中对格式进行数值验证。

提出的方法

• 采用线性稳定化技术重新表述质量守恒Allen-Cahn方程，以增强数值稳定性。
• 构建一阶与二阶指数时间差分龙格-库塔（ETDRK1与ETDRK2）格式用于时间积分。
• 应用指数时间差分方法以隐式处理刚性非线性项，确保无条件稳定性。
• 通过积分约束引入非局部拉格朗日乘子项，以在每个时间步长精确实现质量守恒。
• 利用基于能量与范数的分析，证明在时间离散意义下无条件保持最大值界原理（MBP）与质量守恒。
• 在精确解与数值格式的适当正则性假设下，推导误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出无条件保持质量守恒Allen-Cahn方程最大值界原理（MBP）的指数时间差分格式？
• RQ2 此类格式是否也能在时间离散设置下保证精确质量守恒？
• RQ3 在标准正则性假设下，所提出的ETD格式的收敛行为与误差估计如何？
• RQ4 在二维与三维中具有复杂动力学的相分离长时间模拟中，这些格式表现如何？
• RQ5 线性稳定化技术能否有效与ETD方法结合，以保持此类非局部、非线性PDE的精度与稳定性？

主要发现

• 所提出的首阶与二阶ETD格式无条件保持最大值界原理（MBP），确保解在所有时间均保持在初始有界范围内。
• 格式在每个时间步长精确守恒质量，符合质量守恒Allen-Cahn方程的设定要求。
• 二维与三维的数值实验表明，能量单调衰减，质量保持恒定，且解始终在指定区间内有界。
• ETDRK2格式在时间方向达到二阶精度，当解光滑时，观测到的收敛率与理论预测一致。
• 在膨胀气泡测试中，气泡半径单调增加，并在 t ≈ 18 时达到约 0.407 的预期稳态半径。
• 即使在长时间模拟中，格式仍保持稳定与精确，无需时间步长稳定性限制，证实了无条件稳定性。