[论文解读] Unconstrained degrees of freedom for gravitational waves, $\beta$--foliations and spherically symmetric initial data

Jacek Jezierski, Jerzy Kijowski|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文引入了一类单参数的规范选择（β-叶状结构），用于引力初始数据中无约束自由度的处理，推广了先前工作中β=0的情形。通过在时空的3+1分解中施加依赖于β的规范条件，利用(wk, sl)参数化引力自由度，实现了对引力波两个物理极化的辛几何约化。关键结果是：在史瓦西初始数据中，准局域能量随β变化，标量约束的曲面积分分别给出β=1、1/2和0时对应ADM质量的1/2、3/4和1，表明能量局域化具有β依赖性。

ABSTRACT

A new parameterization of unconstrained degrees of freedom for gravitational field, used in Classical and Quantum Gravity {\\bf 11}, 1055-1068 (1994), has been generalized to one-parameter family of such parameterizations, depending on a real parameter $\\beta \\in [0,2]$. The description introduced in CQG 11, 1055 corresponds to the special choice $\\beta=0$. The method is closely related to the proof of the positivity of the energy presented in Phys. Rev. D {\\bf 36}, 1041-1044 (1987) where $\\beta$-foliations have been introduced (see also applications to black holes dynamics in Classical and Quantum Gravity {\\bf 6}, 1535-1539 (1989) and Acta Physica Polonica B {\\bf 25}, 1413-17 (1994)). Spherically symmetric initial data corresponding to trivial degrees of freedom is analyzed along these lines. In particular, the quasi-local energy content of the Schwarzschild initial data is analyzed for different choices of the $\\beta$-gauge.

研究动机与目标

• 将引力自由度的无约束参数化从β=0推广至单参数族β∈[0,2]。
• 利用依赖于β的规范条件，对初始数据相空间实施辛约化。
• 分析球对称初始数据（特别是史瓦西数据）在不同β规范下的准局域能量内容。
• 证明标量约束中的能量局域化依赖于β，揭示视界内外不同质量贡献。

提出的方法

• 引入一个依赖于参数β∈[0,2]的单参数规范条件族，包括向量约束（11）和（12），以及标量约束（10）。
• 通过2-球面上的共形结构，将约化相空间变量(wk, sl)定义为3-度量gkl、动量Pkl和β的函数。
• 施加规范条件：（10）设定P33/g33 + βS = 0，（11）强制∂k(wk/r²)=0，（12）将2-度量固定为σAB（单位球面）。
• 通过将动量分解为无迹部分与迹部分，引入势函数φ和ϕ以消除剩余规范自由度，推导出约化辛形式。
• 在球对称情形下求解标量约束（26），计算S的曲面积分，该积分作为准局域质量。
• 分析在β=1（共形）、β=1/2（调和）和β=0（逆平均曲率流）规范下的史瓦西初始数据，比较不同规范下的能量内容。

实验结果

研究问题

• RQ1 在β-叶状结构规范中，β的选择如何影响初始数据中无约束引力自由度的参数化？
• RQ2 参数β在决定球对称初始数据的准局域能量内容中起什么作用？
• RQ3 不同β规范（如共形、调和、逆平均曲率）如何影响标量约束的解释及由此产生的质量积分？
• RQ4 标量约束的曲面积分能否被解释为准局域质量？其值如何依赖于β？
• RQ5 在史瓦西初始数据中，β依赖的ADM质量分裂具有何种物理意义？

主要发现

• 对于β=1（共形规范），在S(r)上对标量约束S的曲面积分在r=m/2处给出一半ADM质量，在无穷远处给出全部质量。
• 对于β=1/2（调和规范），在S(r)上对标量约束S的曲面积分在r=m/2处给出3/4的ADM质量，在无穷远处给出全部质量。
• 对于β=0（逆平均曲率流），曲面积分在每个球面上为常数，且作为准局域质量，与彭罗斯不等式一致。
• 标量约束（26）明确显示能量密度被分解为依赖于β的分量，其中包含β(2−β)的项控制g33的径向梯度。
• 约化相空间由(wk, sl)参数化，通过势函数φ和ϕ消除剩余规范自由度，得到包含dD3∧dA3和d(εBC∂BDC)∧dϕ的辛形式。
• 在球对称情形下，sA = wA = 0且w3 = r²σ，约束简化为方程（24）和（25），在球对称条件下求解得SAB=0且s3为常数，与已知解一致。