[论文解读] Uncountable groups with Property (FH)

Yves Cornulier|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2004

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用 2

一句话总结

本文构造了具有 (FH) 性质的不可数群，证明了在不可数情形下，(FH) 性质并不蕴含卡兹丹的 (T) 性质。利用德爾扎翁的嵌入定理以及 ω₁-存在封闭群的性质，本文证明了每个群均可嵌入到一个具有 (FH) 性质的群中，并且证明了有限完美群 G 在不可数指标集 I 上的直积 G^I 是强有界的，因此具有 (FH) 性质。

ABSTRACT

Abstract. A group has Property (FH) if every isometric action on a Hilbert space has a fixed point. We exhibit some uncountable groups with Property (FH). In particular, these groups do not have Kazhdan’s Property (T), which is known to be equivalent to Property (FH) for countable groups. Our first examples rely on a theorem of Delzant, which states that every countable group embeds in a group with Property (T). We deduce that every ω1-existentially closed group has Property (FH), so that every group embeds in a group with Property (FH). Next we prove that, if G is a finite perfect group, and I is a set, then G I has Property (FH). We actually prove something stronger. We say that a group is strongly bounded if every isometric action on a metric space has bounded orbits. This latter property is equivalent, for infinite groups, to the so-called uncountable strong cofinality. We show that G I is strongly bounded. This strengthens a result of Koppelberg and Tits. In this paper, all groups are discrete. 1.

研究动机与目标

• 研究在不可数情形下，(FH) 性质是否蕴含卡兹丹的 (T) 性质。
• 构造具有 (FH) 性质但不具有 (T) 性质的不可数群。
• 将关于 (FH) 性质与强有界性的已知结果推广至有限完美群 G 在不可数指标集 I 上的直积。
• 探讨 ω₁-存在封闭群与 (FH) 性质之间的关系。

提出的方法

• 利用德爾扎翁定理（即每个可数群均可嵌入到一个具有 (T) 性质的群中），本文借助该结果构造了具有 (FH) 性质的不可数群。
• 分析 ω₁-存在封闭群，证明其必然具有 (FH) 性质，从而表明所有群均可嵌入到此类群中。
• 证明有限完美群 G 在不可数指标集 I 上的直积 G^I 是强有界的，这意味着其在度量空间上的所有等距作用的轨道均为有界的。
• 利用无限群中强有界性与不可数强共因子性之间的等价性来建立结果。
• 应用强有界群具有 (FH) 性质的事实，从而推导出 G^I 具有该性质。
• 运用涉及度量空间与等距群作用的群论技术，分析有界轨道。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在具有 (FH) 性质但不具有卡兹丹的 (T) 性质的不可数群？
• RQ2 每个群是否均可嵌入到一个具有 (FH) 性质的群中？
• RQ3 有限完美群 G 在不可数指标集 I 上的直积 G^I 是否为强有界？
• RQ4 ω₁-存在封闭群与 (FH) 性质之间存在何种关系？
• RQ5 在不可数情形下，强有界性是否蕴含 (FH) 性质？

主要发现

• 每个 ω₁-存在封闭群均具有 (FH) 性质，这意味着每个群均可嵌入到一个具有 (FH) 性质的群中。
• 有限完美群 G 在不可数指标集 I 上的直积 G^I 是强有界的，即其在任意度量空间上的所有等距作用的轨道均为有界的。
• 该群 G^I 具有 (FH) 性质，因为对无限群而言，强有界性蕴含 (FH) 性质。
• 该构造提供了具有 (FH) 性质但不具有卡兹丹的 (T) 性质的不可数群，表明在不可数情形下这两个性质并不等价。
• 该结果强化了科佩尔伯格与蒂茨在不可数积背景下关于强有界性的早期工作。
• 本文确立了对无限群而言，不可数强共因子性与强有界性等价，从而提供了新的刻画。