[论文解读] Understanding DDPM Latent Codes Through Optimal Transport
本文证明，在VP-SDE（DDPM）框架中，DDPM编码器映射与数据分布和标准正态分布之间的Monge最优传输映射完全一致，该结论在多元正态分布下有理论证明，在合成与真实图像数据下有数值验证。结果表明，DDPM潜在码通过最优传输编码结构，实现了跨模型的高层特征迁移。
Diffusion models have recently outperformed alternative approaches to model the distribution of natural images, such as GANs. Such diffusion models allow for deterministic sampling via the probability flow ODE, giving rise to a latent space and an encoder map. While having important practical applications, such as estimation of the likelihood, the theoretical properties of this map are not yet fully understood. In the present work, we partially address this question for the popular case of the VP SDE (DDPM) approach. We show that, perhaps surprisingly, the DDPM encoder map coincides with the optimal transport map for common distributions; we support this claim theoretically and by extensive numerical experiments.
研究动机与目标
- 理解通过概率流ODE将数据映射到标准正态潜在空间的DDPM编码器映射的数学性质。
- 研究DDPM编码器映射是否对应于数据分布与噪声分布之间的最优传输映射。
- 为该对应关系在合成与真实图像分布中提供理论与实证证据。
提出的方法
- 针对多元正态分布进行理论分析，证明DDPM编码器映射等于最优传输映射。
- 通过张量列车求解器数值求解Fokker-Planck方程，计算概率流ODE并验证最优传输对应关系。
- 利用DDIM采样对真实图像（FFHQ、MetFaces、AFHQ、ImageNet）进行反演，计算原始图像与其潜在码之间的最优传输代价。
- 使用POT库比较DDIM诱导映射与真实最优传输映射之间的最优传输代价。
- 评估不同模型间共享潜在码所生成样本的相似性，观察高层特征迁移现象。
- 在ImageNet模型上进行条件实验，测试在共享潜在码下纹理与风格是否在不同类别间保持一致。
实验结果
研究问题
- RQ1由概率流ODE诱导的DDPM编码器映射是否与数据分布和标准正态分布之间的最优传输映射完全一致？
- RQ2对于非高斯分布与真实图像分布，DDPM编码器对最优传输映射的逼近精度如何？
- RQ3当在不同数据集上训练的扩散模型之间共享潜在码时，潜在码的实证行为表现如何？
- RQ4由于最优传输结构的存在，高层视觉特征（如纹理、姿态、性别）是否可通过共享潜在码实现迁移？
- RQ5所观察到的对应关系是否仅限于DDPM，还是得分驱动生成模型的一般性质？
主要发现
- 对于多元正态分布，理论证明DDPM编码器映射与Monge最优传输映射完全一致。
- 在合成分布上，通过数值求解Fokker-Planck方程，DDPM编码器映射与最优传输映射的匹配精度达到机器精度。
- 在真实图像数据集（FFHQ、MetFaces、AFHQ）上，不同模型间共享潜在码可生成具有对齐高层特征（如性别、姿态、纹理）的图像。
- 在AFHQ验证集上，原始图像与其DDIM编码潜在码之间的最优传输代价，与概率流ODE诱导的代价在机器精度范围内完全匹配。
- 条件ImageNet模型实验表明，共享潜在码可在不同类别间（如公鸡与披萨）实现纹理与风格的迁移，表明潜在空间编码了感知相似性。
- BigGAN实验未观察到此类迁移，表明所观察到的特征对齐现象特异性存在于DDPM中，而非条件生成的一般效应。
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