[论文解读] Understanding Space in Proof Complexity: Separations and Trade-offs via Substitutions

Eli Ben‐Sasson, Jakob Nordstr”öm|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2010

Formal Methods in Verification参考文献 42被引用 13

一句话总结

本文通過變數取代技術，首次在解析證明複雜度中建立一般長度-空間的權衡關係，證明公式可經轉換以在保持證明長度不變的情況下顯著降低空間需求。主要貢獻在於為解析證明建立緊緻的超多項式長度-空間權衡，並延伸至 k-DNF 解析系統，解決了關於證明系統中層次結構與權衡關係的開放問題。

ABSTRACT

For current state-of-the-art DPLL SAT-solvers the two main bottlenecks are the amounts of time and memory used. In proof complexity, these resources correspond to the length and space of resolution proofs. There has been a long line of research investigating these proof complexity measures, but while strong results have been established for length, our understanding of space and how it relates to length has remained quite poor. In particular, the question whether resolution proofs can be optimized for length and space simultaneously, or whether there are trade-offs between these two measures, has remained essentially open. In this paper, we remedy this situation by proving a host of length-space trade-off results for resolution. Our collection of trade-offs cover almost the whole range of values for the space complexity of formulas, and most of the trade-offs are superpolynomial or even exponential and essentially tight. Using similar techniques, we show that these trade-offs in fact extend to the exponentially stronger k-DNF resolution proof systems, which operate with formulas in disjunctive normal form with terms of bounded arity k. We also answer the open question whether the k-DNF resolution systems form a strict hierarchy with respect to space in the affirmative. Our key technical contribution is the following, somewhat surprising, theorem: Any CNF formula F can be transformed by simple variable substitution into a new formula F' such that if F has the right properties, F' can be proven in essentially the same length as F, whereas on the other hand the minimal number of lines one needs to keep in memory simultaneously in any proof of F' is lower-bounded by the minimal number of variables needed simultaneously in any proof of F. Applying this theorem to so-called pebbling formulas defined in terms of pebble games on directed acyclic graphs, we obtain our results.

研究动机与目标

• 解決長期懸而未決的開放問題：解析證明中的長度與空間是否能同時優化，或是否存在固有的權衡關係。
• 在解析與 k-DNF 解析系統的整個空間複雜度範圍內，建立一般且緊緻的長度-空間權衡關係。
• 證明 k-DNF 解析系統在空間複雜度上形成嚴格的層次結構。
• 發展一種新型轉換技術，利用變數取代，在不增加證明長度的情況下降低記憶體需求。

提出的方法

• 引入一種變數取代技術，將 CNF 公式 F 轉換為 F′，使得 F 的任何證明皆可在 F′ 中以相同長度模擬。
• 證明證明 F′ 所需的最小空間下界等於任何 F 的證明中同時使用變數的最小數量。
• 將此轉換應用於源自有向無環圖與 Pebble 遊戲的 Pebbling 公式，以建立權衡關係。
• 利用 DAG 的 Pebbling 複雜度構造具有已知空間與長度性質的公式，從而實現精確的權衡分析。
• 利用已知的黑白 Pebbling 結果與空間複雜度理論，推導解析空間的下界。
• 透過證明相同權衡關係在 k-DNF 解析系統中依然成立（儘管參數較差），將結果延伸至 k-DNF 解析系統。

实验结果

研究问题

• RQ1 解析證明能否在縮短長度與減少空間兩者上同時優化，還是存在固有的權衡關係？
• RQ2 解析證明複雜度中，長度與空間之間是否存在超多項式或指數級分離？
• RQ3 k-DNF 解析系統在空間複雜度上是否形成嚴格的層次結構？
• RQ4 能否透過結構轉換降低解析證明的空間複雜度，而不增加證明長度？
• RQ5 DAG 上的 Pebbling 公式與解析中的長度-空間權衡有何關聯？

主要发现

• 本文在解析中確立了超多項式長度-空間權衡，證明存在某些公式，其短證明需大空間，反之亦然。
• 透過變數取代的轉換在保持證明長度不變的同時降低最小所需空間，提供一種通用方法以產生此類權衡。
• 對於 DAG 上的 Pebbling 公式，權衡關係幾乎是緊緻的，空間複雜度直接與底層圖的 Pebbling 數相關。
• 結果可延伸至 k-DNF 解析系統，證明此類系統亦表現長度-空間權衡，儘管參數較差。
• 本文確認 k-DNF 解析系統在空間複雜度上形成嚴格的層次結構，正面回答了此一開放問題。
• 證明轉換後公式 F′ 所需的最小空間，下界由原始公式 F 的任何證明中同時使用變數的最小數量決定。