[论文解读] Une caracterisation des endomorphismes de Lattes par leur mesure de Green

François Berteloot, Christophe Dupont|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 17

一句话总结

本文证明了在复射影空间 $\mathbb{P}^k$ 上，仅有 Latt`es 自同态的度量最大熵测度关于 Lebesgue 测度是绝对连续的。通过一种新颖的局部线性化技术，该技术规避了高维中缺乏 Koebe 型定理的问题，作者表明：若 Green 测度绝对连续，则该自同态必为 Latt`es 型，从而通过诸如最大 Hausdorff 维数和最小 Lyapunov 指数等极端动力学性质对这些映射进行了刻画。

ABSTRACT

We show that the Lattes endomorphisms are the only holomorphic endomorphisms of the complex k-dimensional projective space whose measure of maximal entropy is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. As a consequence, Lattes endomorphisms are also characterized by other extremal properties as the maximality of the Hausdorff dimension of their measure of maximal entropy or the minimality of their Liapounov exponents. Our proof uses a linearization method which is of independant interest and a previous characterization by the regularity of the Green current.

研究动机与目标

• 刻画复射影空间 $\mathbb{P}^k$ 上度量最大熵测度关于 Lebesgue 测度绝对连续的全纯自同态。
• 确立此类自同态必为 Latt`es 映射，从而解决 Fornaess 与 Sibony 提出的问题。
• 证明 Green 测度的绝对连续性蕴含极端动力学行为，包括最大 Hausdorff 维数与最小 Lyapunov 指数。
• 在高维复动力系统中发展并应用一种新的局部线性化方法，克服 Koebe 型定理缺失的问题。
• 通过 Green 楷体及其幂次，建立测度论正则性（绝对连续性）与几何结构（Latt`es 形式）之间的联系。

提出的方法

• 通过在迭代 $f^n$ 前复合逆切线映射 $(D_x f^n)^{-1}$，引入一种局部线性化过程，以在一般点附近正规化动力系统。
• 利用 Green 测度 $\mu = T^k$ 的绝对连续性假设，控制 $f^n$ 下原像的体积增长。
• 基于测度 $\mu$ 的 Lyapunov 指数 $\lambda_1, \dots, \lambda_k$，建立原像球体在 $f^n$ 下的畸变的统一估计。
• 使用 $\mathbb{P}^k$ 上的精细网格实施覆盖论证，以界定覆盖集合 $A_n$（即具有受控畸变的点集）的原像集 $P_i$ 的数量。
• 利用 $\bigcup_i P_i$ 的体积界估计 limsup 集 $Y = \limsup_n A_n$ 的 Hausdorff 测度，从而得出维数估计。
• 推导出 $Y$ 的 $l_\epsilon$-Hausdorff 测度的下界，其中 $Y$ 是全 $\mu$-测度的 Borel 集，从而得出 $\dim(\mu) = 2k$ 当且仅当 $f$ 是 Latt`es 映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $\mathbb{P}^k$ 的全纯自同态满足其 Green 测度关于 Lebesgue 测度 $\omega^k$ 的绝对连续性？
• RQ2 Latt`es 性质能否仅通过度量最大熵的极端性质（如最大 Hausdorff 维数或最小 Lyapunov 指数）来刻画？
• RQ3 在高维中，能否从 $\mu = T^k$ 的绝对连续性推导出 Green 楷体 $T$ 的正则性？
• RQ4 能否在 $k \geq 2$ 的 $\mathbb{P}^k$ 中发展一种不依赖 Koebe 畸变定理的线性化方法？
• RQ5 Green 测度的维数与自同态的动力学结构之间的确切关系为何？

主要发现

• 仅当自同态为 Latt`es 自同态时，$\mathbb{P}^k$ 上的全纯自同态的 Green 测度 $\mu$ 才关于 Lebesgue 测度 $\omega^k$ 绝对连续。
• Latt`es 自同态的 Green 测度 $\mu$ 的 Hausdorff 维数恰好为 $2k$，即可能的最大值。
• 对任意次数为 $d$ 的自同态，其测度 $\mu$ 的 Lyapunov 指数最小且等于 $\log \sqrt{d}$ 当且仅当该映射为 Latt`es 映射。
• 集合 $Y = \limsup_n A_n$（即迭代下具有受控畸变的点集）对所有 $\epsilon > 0$ 具有有限的 $l_\epsilon$-Hausdorff 测度，从而若 $\mu$ 绝对连续，则 $\dim(\mu) = 2k$。
• 本文所发展的线性化方法可在无 Koebe 型定理的高维情形下控制原像体积。
• 最大维数、最小 Lyapunov 指数与 Latt`es 性质之间的等价性对所有 $k \geq 1$ 成立，推广了已知的一维结果。