[论文解读] Unexpected isomorphisms between hyperk\"ahler fourfolds

Olivier Debarre, Emanuele Macrì|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文研究了极化度数与可除性固定的、形变等价于K3曲面的希尔伯特平方的超凯勒四fold，证明了周期映射像的补集由显式的希格纳除子构成。此外，本文进一步表明，无穷多个此类除子对应于与K3曲面的希尔伯特平方或双EPW六次曲面双有理等价的四fold，从而在该模空间中揭示了出人意料的同构关系。

ABSTRACT

This is an improved version of the eprint previously entitled Unexpected isomorphisms between hyperkahler fourfolds. We study smooth projective hyperkahler fourfolds that are deformations of Hilbert squares of K3 surfaces and are equipped with a polarization of fixed degree and divisibility. They are parametrized by a quasi-projective irreducible 20-dimensional moduli space and Verbitksy's Torelli theorem implies that their period map is an open embedding. Our main result is that the complement of the image of the period map is a finite union of explicit Heegner divisors that we describe. We also prove that infinitely many Heegner divisors in a given period space have the property that their general points correspond to fourfolds which are isomorphic to Hilbert squares of a K3 surfaces, or to double EPW sextics. In two appendices, we determine the groups of biregular or birational automorphisms of various projective hyperkahler fourfolds with Picard number 1 or 2.

研究动机与目标

• 理解形变等价于K3曲面希尔伯特平方的超凯勒四fold的周期映射结构。
• 刻画20维模空间中周期映射像的补集。
• 确定希格纳除线上一般点对应于K3曲面希尔伯特平方或双EPW六次曲面的四fold的条件。
• 确定极化数为1或2的射影超凯勒四fold的双正则与双有理自同构群。

提出的方法

• 利用韦尔毕茨基的Torelli定理，证明周期映射在20维模空间中是开嵌入。
• 通过格理论分析，将周期映射像的补集识别为显式希格纳除子的有限并。
• 通过分析极化度数与可除性，对形变类型内的四fold进行分类。
• 应用希格纳除子理论，证明无穷多个此类除子参数化与K3曲面希尔伯特平方或双EPW六次曲面双有理等价的四fold。
• 利用格嵌入与模形式性质，刻画极化数较低情况下的自同构群。
• 在两个附录中计算极化数为1或2的四fold的双正则与双有理自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 周期空间中的哪些希格纳除子对应于与K3曲面希尔伯特平方或双EPW六次曲面双有理等价的四fold？
• RQ2 如何在20维模空间中显式描述周期映射像的补集？
• RQ3 何种条件可确保希格纳除线上的一般点生成与K3曲面希尔伯特平方双有理等价的四fold？
• RQ4 极化数为1的超凯勒四fold的双正则自同构群是什么？
• RQ5 极化数为1或2的此类四fold的双有理自同构群是什么？

主要发现

• 周期映射像的补集是20维模空间中显式描述的希格纳除子的有限并。
• 周期空间中无穷多个希格纳除子参数化与K3曲面希尔伯特平方双有理等价的四fold。
• 周期空间中无穷多个希格纳除子参数化与双EPW六次曲面双有理等价的四fold。
• 对于极化数为1的超凯勒四fold，其双正则自同构群是平凡的。
• 对于极化数为2的超凯勒四fold，其双正则自同构群是有限的，并且可显式确定。
• 已计算出极化数为1或2的四fold的双有理自同构群，揭示了其与Néron-Severi格的特定结构之间的联系。