[论文解读] Unified analysis of mixed methods for elasticity with weakly symmetric stress

Jeonghun J. Lee|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用 1

一句话总结

本文提出了一套统一框架，用于分析线性弹性力学中具有弱对称应力的混合有限元方法。通过利用弱对称弹性复形中的可交换图，并结合斯托克斯稳定与弹性稳定有限元，该方法确保了稳定性，同时使大多数现有方法的分析得以通过基本技术完成，还导出了新的稳定混合有限元。

ABSTRACT

We propose a framework for unified analysis of mixed methods for elasticity with weakly symmetric stress. Based on a commuting diagram in the weakly symmetric elasticity complex and extending a previous stability result, stable mixed methods are obtained by combining Stokes stable and elasticity stable finite elements. We show that the framework can be used to analyze most existing mixed methods for the elasticity problem with elementary techniques. We also show that some new stable mixed finite elements are obtained.

研究动机与目标

• 开发一种用于弱对称应力线性弹性力学中混合有限元方法的统一分析框架。
• 通过弱对称弹性复形中的可交换图，建立稳定斯托克斯元与稳定弹性元之间的联系。
• 通过将现有混合方法简化为已知的稳定有限元对，简化其分析。
• 识别并构造适用于弱对称应力弹性力学的新稳定混合有限元对。

提出的方法

• 利用弱对称弹性复形中的可交换图，关联不同的有限元空间。
• 扩展先前的稳定性结果，以确保斯托克斯稳定与弹性稳定有限元的组合可产生稳定的混合方法。
• 通过将斯托克斯问题中的已知稳定对与弹性问题中的稳定对相结合，构造混合有限元对。
• 应用基本的有限元技术分析所得混合方法，无需复杂的、问题特定的证明。
• 通过适当的有限元空间与变分格式，确保应力张量的弱对称性。
• 通过理论分析验证该框架的稳定性与收敛性特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个统一框架，以分析具有弱对称应力的线性弹性力学中的混合有限元方法？
• RQ2 弱对称弹性复形及其可交换图在确保方法稳定性方面起什么作用？
• RQ3 能否系统性地将现有弹性力学混合方法统一于单一理论框架之下？
• RQ4 利用该框架可推导出哪些新的稳定混合有限元对？
• RQ5 斯托克斯稳定与弹性稳定有限元的组合如何导致弹性力学中稳定混合方法的产生？

主要发现

• 所提出的框架可使用基本技术，对大多数现有弱对称应力弹性力学混合有限元方法实现稳定分析。
• 该框架通过弱对称弹性复形中的可交换图，建立了稳定斯托克斯元与稳定弹性元之间的理论联系。
• 利用所提方法，成功推导出适用于弱对称应力弹性力学的新稳定混合有限元对。
• 结果混合方法的稳定性由框架内先前稳定性结果的扩展所保证。
• 该方法通过将复杂混合方法简化为已知的稳定有限元组合，简化了其分析过程。
• 该框架具有足够的通用性，可涵盖并统一弹性力学中一大类现有混合方法。