[论文解读] Unified Bessel, Modified Bessel, Spherical Bessel and Bessel-Clifford Functions

Banu Yılmaz Yaşar, Mehmet Ali Özarslan|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文通过广义Pochhammer符号，引入了一类统一的贝塞尔型函数家族——涵盖贝塞尔函数、修正贝塞尔函数、球贝塞尔函数以及贝塞尔-克利福德函数。通过该广义化方法，作者推导出积分表示、变换（拉普拉斯变换、梅林变换）、递推关系及微分方程，构建了一个全面的理论框架，涵盖已知的特殊函数并得出特殊函数理论中的新结果。

ABSTRACT

In the present paper, unification of Bessel, modified Bessel, spherical Bessel and Bessel-Clifford functions via the generalized Pochhammer symbol [ Srivastava HM, Cetinkaya A, Kıymaz O. A certain generalized Pochhammer symbol and its applications to hypergeometric functions. Applied Mathematics and Computation, 2014, 226 : 484-491] is defined. Several potentially useful properties of the unified family such as generating function, integral representation, Laplace transform and Mellin transform are obtained. Besides, the unified Bessel, modified Bessel, spherical Bessel and Bessel-Clifford functions are given as a series of Bessel functions. Furthermore, the derivatives, recurrence relations and partial differential equation of the so-called unified family are found. Moreover, the Mellin transform of the products of the unified Bessel functions are obtained. Besides, a three-fold integral representation is given for unified Bessel function. Some of the results which are obtained in this paper are new and some of them coincide with the known results in special cases.

研究动机与目标

• 通过广义Pochhammer符号，将贝塞尔函数、修正贝塞尔函数、球贝塞尔函数以及贝塞尔-克利福德函数统一为一个广义函数族。
• 推导该统一函数族的基本解析性质，包括生成函数、积分表示、拉普拉斯变换与梅林变换。
• 建立该统一族的递推关系、导数关系及偏微分方程。
• 证明已知的特殊函数可作为该统一族的特例出现。
• 提供三重积分表示，并计算该统一函数乘积的梅林变换。

提出的方法

• 通过广义超几何级数与广义Pochhammer符号定义统一函数，扩展了经典贝塞尔型函数。
• 广义Pochhammer符号由扩展的Beta函数构造，从而拓展了参数空间。
• 利用积分变换与广义超几何恒等式，推导出积分表示，包括三重积分。
• 通过积分定义与广义Pochhammer符号的性质，计算统一函数的拉普拉斯变换与梅林变换。
• 通过操作级数表示并应用算子恒等式，推导出递推关系与微分方程。
• 将统一函数表示为经典贝塞尔函数的级数，从而建立与已知函数类的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过广义Pochhammer符号，将贝塞尔函数、修正贝塞尔函数、球贝塞尔函数以及贝塞尔-克利福德函数统一嵌入到一个广义函数族中？
• RQ2 该统一函数族的积分、变换与微分性质为何？
• RQ3 已知的特殊函数如何作为该统一族的极限情况出现？
• RQ4 统一贝塞尔函数乘积的梅林变换具有何种结构？
• RQ5 该统一函数能否表示为经典贝塞尔函数的级数形式？

主要发现

• 统一贝塞尔函数可表示为经典贝塞尔函数的级数，建立了广义形式与经典形式之间的直接联系。
• 为统一贝塞尔函数推导出三重积分表示，推广了已知的积分形式。
• 计算了两个统一贝塞尔函数乘积的梅林变换，结果为广义超几何函数。
• 统一函数满足一个二阶偏微分方程，推广了经典的贝塞尔微分方程。
• 利用广义Pochhammer符号，显式计算了统一函数的拉普拉斯变换与梅林变换。
• 当参数退化为标准值时，若干经典贝塞尔函数的已知结果可作为特例被恢复。