[论文解读] Unified discrete multisymplectic Lagrangian formulation for hyperelastic solids and barotropic fluids

François Demoures, François Gay–Balmaz|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于时空多辛框架的统一几何变分半差分法，用于超弹性固体和非粘性流体。通过定义离散形变梯度、柯西-格林张量和雅可比行列式，该方法实现了保持结构的数值积分，精确保持对称性并近似保持能量，同时通过罚函数项自然地引入不可压缩性和不可穿透性约束。该方法实现了2D和3D下流固耦合的稳定长期模拟。

ABSTRACT

We present a geometric variational discretization of nonlinear elasticity in 2D and 3D in the Lagrangian description. A main step in our construction is the definition of discrete deformation gradients and discrete Cauchy-Green deformation tensors, which allows for the development of a general discrete geometric setting for frame indifferent isotropic hyperelastic models. The resulting discrete framework is in perfect adequacy with the multisymplectic discretization of fluids proposed earlier by the authors. Thanks to the unified discrete setting, a geometric variational discretization can be developed for the coupled dynamics of a fluid impacting and flowing on the surface of an hyperelastic body. The variational treatment allows for a natural inclusion of incompressibility and impenetrability constraints via appropriate penalty terms. We test the resulting integrators in 2D and 3D with the case of a barotropic fluid flowing on incompressible rubber-like nonlinear models.

研究动机与目标

• 开发一种基于时空多辛形式的几何变分半差分法，用于2D和3D下的非线性弹性问题。
• 在统一的变分框架下，对超弹性固体和非粘性流体实施离散几何处理。
• 实现具有精确对称性保持和不可压缩性与不可穿透性约束自然包含的稳定长期流固耦合模拟。
• 直接从时空构型映射构建离散几何对象——形变梯度、柯西-格林张量和雅可比行列式。

提出的方法

• 从物体的时空离散构型映射中定义离散形变梯度。
• 从离散形变梯度构造离散柯西-格林张量和雅可比行列式，确保框架不变性和各向同性。
• 基于定义在离散柯西-格林张量上的存储能函数，构建离散拉格朗日量，适用于各向同性超弹性模型。
• 通过在离散作用泛函中引入罚函数项，将不可压缩性和不可穿透性约束纳入。
• 推导出一种时空多辛积分格式，其在时间上为辛结构，保持动量映射，并近似保持能量。
• 通过在不可穿透性约束下耦合离散流体与固体格式，将该框架扩展至流固耦合问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为超弹性固体和非粘性流体构建统一的离散几何框架？
• RQ2 在变分半差分法中，需要哪些离散几何对象（如形变梯度、柯西-格林张量）以保持框架不变性和各向同性？
• RQ3 如何将不可压缩性和不可穿透性约束自然地整合进变分多辛积分格式中？
• RQ4 所得到的积分格式能否精确保持关键几何结构，如辛结构、动量守恒和能量近似守恒？
• RQ5 该方法在2D和3D下流固耦合的长期模拟中表现如何？

主要发现

• 离散形变梯度、柯西-格林张量和雅可比行列式均从时空构型映射中一致定义，从而实现了对各向同性超弹性模型的系统化处理。
• 所得数值积分格式具有时空多辛性且时间上为辛结构，确保了长期稳定性和精确的动量守恒。
• 通过在离散作用泛函中引入罚函数项，自然地实现了不可压缩性约束。
• 流体与固体之间的不可穿透性约束通过变分形式中的罚函数实现，从而支持稳定流固耦合模拟。
• 2D和3D的数值测试表明，该方法在使用圣维南-柯西-基尔霍夫和穆尼-里夫林模型模拟不可压缩橡胶状固体上的非粘性流体流动时，表现出鲁棒性和高精度。
• 离散变分框架允许通过协变诺特定理系统推导离散运动方程，从而确保对称性保持。