[论文解读] Unified integral operator involving generalized Bessel-Maitland function

Waseem Ahmad Khan, Kottakkaran Sooppy Nisar|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文引入了一种涉及广义Bessel-Maitland函数的统一积分算子，推导出以广义（Wright）超几何函数表示的双重积分变换。主要贡献在于对包含广义Bessel-Maitland函数与广义Mittag-Leffler函数的双重积分进行了闭式求值，并通过参数特化导出多个特殊情形，从而恢复已知的积分公式。

ABSTRACT

The main object of this article is to present an interesting double integral involving generalized Bessel-Maitland function defined by Ghaysuddin et al., which is expressed in terms of generalized (Wright) hypergeometric function. We also considered some special cases as an application of the main result.

研究动机与目标

• 开发一种涉及广义Bessel-Maitland函数的统一积分算子，以增强其在特殊函数与积分变换中的适用性。
• 以广义（Wright）超几何函数的形式表达涉及广义Bessel-Maitland函数的双重积分。
• 通过引入额外参数，推广现有涉及贝塞尔函数、Mittag-Leffler函数与超几何函数的积分结果。
• 提供特殊情形，使已知的经典与广义特殊函数的积分公式得以恢复。
• 通过参数化推广，扩展积分变换在数学物理、工程与应用科学中的适用性。

提出的方法

• 广义Bessel-Maitland函数通过广义Pochhammer符号及参数μ, ν, γ, δ, p, q定义，并附有收敛条件。
• 对单位正方形[0,1]×[0,1]上的双重积分进行求值，涉及(1−x)、(1−y)与(1−xy)的幂次，以及广义Mittag-Leffler函数。
• 通过广义Bessel-Maitland函数的级数展开与逐项积分，对积分进行变换。
• 所得级数被识别为广义（Wright）超几何函数，从而导出闭式表达式。
• 该方法依赖于广义（Wright）超几何函数的性质及级数的收敛性准则。
• 应用参数代换以推导特殊情形，使广义形式简化为已知函数，如Mittag-Leffler函数与超几何函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为广义Bessel-Maitland函数构建统一的双重积分算子？
• RQ2 包含广义Bessel-Maitland函数与广义Mittag-Leffler函数的双重积分的闭式求值是什么？
• RQ3 参数特化如何恢复经典特殊函数的已知积分公式？
• RQ4 广义（Wright）超几何函数表示在何种收敛条件下成立？
• RQ5 统一形式在特殊函数积分变换方面如何扩展先前结果？

主要发现

• 主要结果为以广义（Wright）超几何函数表示的双重积分变换：∫₀¹∫₀¹ y^λ(1−x)^λ⁻¹(1−y)^μ⁻¹(1−xy)¹⁻λ⁻μ E_η,ν^γ[ay(1−x)(1−y)/(1−xy)²] dx dy = Γ(λ)Γ(μ)/Γ(ν)Γ(λ+μ) × _{q+2}Ψ_{η+2}[Δ(q;γ), λ, μ; Δ(η;ν), Δ(2;λ+μ); aq^q/(4η^η)].
• 特殊情形（v）在p=q=δ=1且ν替换为ν−1时，使结果简化为 _3Ψ_2 函数，其中出现广义Mittag-Leffler函数 E_η,ν^γ(z)。
• 当p=q=δ=γ=1且ν=0时，结果简化为包含经典Mittag-Leffler函数 E_η(z) 的 _3Ψ_2 函数，如公式（3.9）所示。
• 公式（3.6）将积分表示为广义超几何函数 _3F_{η+2}，其参数由广义（Wright）函数导出。
• 参数约束确保收敛：Re(μ)>0, Re(λ)>0, Re(ν)>0, Re(γ)>0，且q∈(0,1)∪ℕ。
• 统一形式通过引入多个参数成功推广了先前结果，使通过参数特化恢复已知公式成为可能。