[论文解读] Unified View on L\'evy White Noises: General Integrability Conditions and Applications to Linear SPDE

Julien Fageot, Thomas Humeau|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 7

一句话总结

本文通过将前者的构造扩展至后者，统一了 Lévy 白噪声的两种构造方法——广义随机过程与独立散列随机测度，从而实现了对定义域的最大化扩展，并推导出一般可积性条件。该文建立了实用的定义域判定准则，涵盖高斯、对称 α 稳定、拉普拉斯及复合泊松噪声等情形，并推导出由此类噪声驱动的线性 SPDE 广义解存在的通用准则。

ABSTRACT

There exists several ways of constructing L\'evy white noise, for instance are as a generalized random process in the sense of I.M. Gelfand and N.Y. Vilenkin, or as an independently scattered random measure introduced by B.S. Rajput and J. Rosinski. In this article, we unify those two approaches by extending the L\'evy white noise, defined as a generalized random process, to an independently scattered random measure. We are then able to give general integrability conditions for L\'evy white noises, thereby maximally extending their domain of definition. Based on this connection, we provide new criteria for the practical determination of this domain of definition, including specific results for the subfamilies of Gaussian, symmetric-$\alpha$-stable, Laplace, and compound Poisson noises. We also apply our results to formulate a general criterion for the existence of generalized solutions of linear stochastic partial differential equations driven by a L\'evy white noise.

研究动机与目标

• 统一广义随机过程与独立散列随机测度方法对 Lévy 白噪声的构造。
• 通过将 Lévy 白噪声的构造推广为独立散列随机测度，扩展其定义域。
• 推导出可最大化 Lévy 白噪声定义域的一般可积性条件。
• 为关键子族（高斯、对称 α 稳定、拉普拉斯及复合泊松噪声）提供确定定义域的实用准则。
• 基于扩展框架，制定由 Lévy 白噪声驱动的线性随机偏微分方程广义解存在的通用准则。

提出的方法

• 通过测度论推广，将 Lévy 白噪声的定义从广义随机过程扩展为独立散列随机测度。
• 应用独立散列随机测度理论，基于 Lévy 测度与特征指数刻画 Lévy 白噪声的可积性。
• 基于 Lévy-Khintchine 表示及 Lévy 测度的矩条件，推导出一般可积性条件。
• 利用其特征性质，将扩展框架应用于分析特定 Lévy 噪声子族的定义域。
• 利用扩展后的定义域，制定线性 SPDE 广义解存在的充分条件，该 SPDE 由 Lévy 白噪声驱动。
• 采用泛函分析与随机积分技术，确保解在广义函数空间中定义良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何统一广义随机过程与独立散列随机测度对 Lévy 白噪声的构造方法？
• RQ2 Lévy 白噪声的定义域可最大化的一般可积性条件是什么？
• RQ3 如何为特定 Lévy 噪声子族推导出定义域的实用准则？
• RQ4 何种条件可确保由 Lévy 白噪声驱动的线性 SPDE 广义解的存在性？
• RQ5 统一框架如何改进对 Lévy 白噪声随机积分的刻画？

主要发现

• 本文成功将 Lévy 白噪声从广义随机过程扩展为独立散列随机测度，实现了定义域的显著扩展。
• 基于 Lévy 测度与特征指数推导出一般可积性条件，实现了定义域的最大化扩展。
• 利用各类噪声的特定 Lévy 特征，为高斯、对称 α 稳定、拉普拉斯及复合泊松噪声建立了定义域的实用准则。
• 基于扩展框架，制定了由 Lévy 白噪声驱动的线性 SPDE 广义解存在的通用准则。
• 统一方法提供了一套系统化方法，用于判断给定测试函数或分布是否可积于 Lévy 白噪声。
• 研究结果使得对非高斯及重尾噪声类型的 SPDE 能够实现严格处理，超越高斯情形。