[论文解读] Uniform a priori estimates for positive solutions of higher order Lane-Emden equations in $\mathbb{R}^n$

Wei Dai, Thomas Duyckaerts|arXiv (Cornell University)|May 24, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文在 $ℝ^n$ 中的星形或严格凸有界区域上，针对具有 Navier 边界条件的高阶 Lane-Emden 方程，建立了正解的统一先验估计，将先前针对二阶情形（$m=1$）的结果推广至一般 $m \geq 2$。通过广义的 Pohozaev 型恒等式与尺度变换方法，作者证明了当 $p \to p_c^-$ 时，解的 $L^\infty$-范数保持统一有界，从而确立了存在性与爆破行为的临界阈值。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of uniform a priori estimates for positive solutions to Navier problems of higher order Lane-Emden equations \begin{equation*} (-Δ)^{m}u(x)=u^{p}(x), \qquad \,\, x\inΩ\end{equation*} for all large exponents $p$, where $Ω\subset\mathbb{R}^{n}$ is a star-shaped or strictly convex bounded domain with $C^{2m-2}$ boundary, $n\geq4$ and $2\leq m\leq\frac{n}{2}$. Our results extend those of previous authors for second order $m=1$ to general higher order cases $m\geq2$.

研究动机与目标

• 将高阶 Lane-Emden 方程正解的统一先验估计从二阶情形（$m=1$）推广至一般 $m \geq 2$。
• 在 $p$ 从下方趋近临界指数 $p_c = \frac{n+2m}{n-2m}$ 时，建立正解的 $L^\infty$-范数的统一有界性。
• 证明在星形区域中，当 $p \geq p_c$ 时不存在正解，从而将 $m=1$ 时的经典非存在性结果推广至高阶情形。
• 为具有 $C^{2m-2}$ 光滑边界的高阶 Navier 问题，发展并应用广义的 Pohozaev 型变分恒等式。

提出的方法

• 推导涉及 $(-\Delta)^m u = f(u)$ 与 Navier 边界条件的高阶 Navier 问题的广义 Pohozaev 型恒等式。
• 应用 Pohozaev 恒等式，在星形区域假设下证明非负解的 Liouville 型定理。
• 利用尺度变换技术与 Green 表示公式，估计解在集中点处的导数 $(-\Delta)^k u(x_k)$ 的点态值。
• 应用非齐次 Harnack 不等式，控制 $u(x)$ 在最大值点 $x=0$ 附近的衰减行为，将 $L^\infty$-范数与 $u$ 在小球内的行为联系起来。
• 利用最大值 $M = \|u\|_{L^\infty}$ 与 $p \to p_c^-$ 时的渐近分析，构造 $\int_{B_r(0)} \ln(1/|x|) u^p(x) dx$ 的下界。
• 结合 Pohozaev 恒等式与 Green 表示公式的估计，若 $M$ 无界则导致矛盾，从而导出关键的先验估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否像 $m=1$ 的情形一样，对 $m \geq 2$ 的高阶 Lane-Emden 方程正解建立统一的先验估计？
• RQ2 在星形或严格凸区域中，当 $m \geq 2$ 时，$p \to p_c^-$ 时正解的 $L^\infty$-范数行为如何？
• RQ3 在星形区域中，当 $p \geq p_c$ 时正解不存在的结果，能否从 $m=1$ 推广至高阶情形？
• RQ4 Pohozaev 型恒等式应如何推广以处理 $m \geq 2$ 时的 Navier 边界条件？
• RQ5 能否利用尺度变换与 Harnack 型估计，获得与 $p$ 无关的 $L^\infty$-范数的统一有界估计？

主要发现

• 当 $m \geq 2$ 且 $n \geq 4$，$m < n/2$ 时，高阶 Lane-Emden 方程正解的 $L^\infty$-范数在 $p \to p_c^-$ 时保持统一有界，且与 $p$ 无关。
• 当 $\Omega$ 为星形或严格凸区域且具有 $C^{2m-2}$ 光滑边界时，对所有 $p \in (1, p_c)$，有统一先验估计 $\|u\|_{L^\infty(\overline{\Omega})} \leq e^C$，其中 $C$ 与 $p$ 无关。
• 高阶 Navier 问题的广义 Pohozaev 恒等式包含对迭代拉普拉斯导数的边界积分之和，反映了解的生长与衰减结构。
• 当 $p$ 接近 $p_c$ 时，解在某点附近集中，且最大值 $M = \|u\|_{L^\infty}$ 满足 $M \leq e^C$，表明当 $p \to p_c^-$ 时不会发生爆破。
• 该方法依赖于 Green 表示式中 $(-\Delta)^k u$ 与对数积分估计之间的精妙平衡，若 $M$ 过大则导致矛盾。
• 结果证实，临界指数 $p_c = \frac{n+2m}{n-2m}$ 在高阶情形下是正解存在性与统一有界性的严格阈值。