[论文解读] Uniform and Pointwise Shape Preserving Approximation by Algebraic Polynomials

Kirill A. Kopotun, D. Leviatan+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2011

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 57被引用 33

一句话总结

本综述全面回顾了在有限区间上代数多项式在一致和逐点意义下的形状保持逼近（SPA），重点关注单调性、凸性和q-单调性。研究表明，尽管SPA保持了函数的形状，但逼近精度通常劣于无约束逼近，且通过光滑模精确量化了误差，并在不同逼近类型间进行了比较，揭示了该领域中的关键差异与开放问题。

ABSTRACT

We survey developments, over the last thirty years, in the theory of Shape Preserving Approximation (SPA) by algebraic polynomials on a finite interval. In this article, "shape" refers to (finitely many changes of) monotonicity, convexity, or q-monotonicity of a function (for definition, see Section 4). It is rather well known that it is possible to approximate a function by algebraic polynomials that preserve its shape (i.e., the Weierstrass approximation theorem is valid for SPA). At the same time, the degree of SPA is much worse than the degree of best unconstrained approximation in some cases, and it is "about the same" in others. Numerous results quantifying this difference in degrees of SPA and unconstrained approximation have been obtained in recent years, and the main purpose of this article is to provide a "bird's-eye view" on this area, and discuss various approaches used. In particular, we present results on the validity and invalidity of uniform and pointwise estimates in terms of various moduli of smoothness. We compare various constrained and unconstrained approximation spaces as well as orders of unconstrained and shape preserving approximation of particular functions, etc. There are quite a few interesting phenomena and several open questions.

研究动机与目标

• 提供过去三十年间在有限区间上代数多项式一致和逐点形状保持逼近（SPA）研究的全面概述。
• 量化约束（形状保持）逼近与无约束多项式逼近之间逼近阶的差异。
• 分析使用各种光滑模（包括Ditzian-Totik型和Nikolskii型）的统一和逐点估计的有效性与无效性。
• 比较无约束与形状保持逼近的逼近空间与逼近阶，尤其针对具有特定光滑性与形状特性的函数。
• 突出SPA中的开放问题与关键现象，特别是针对单调性、凸性和q-单调性。

提出的方法

• 作者采用系统性综述方法，分析过去三十年SPA的研究成果，重点关注具有受控单调性、凸性或q-单调性的函数逼近。
• 关键方法包括使用光滑模，特别是Ditzian-Totik型与Nikolskii型光滑模，以估计一致与逐点情形下的逼近误差。
• 论文引入并分析了不同的逼近情形：'⊕'（依赖于函数的常数的逐点估计有效）、'⊖'（估计无效）、'⊘'（对于s ≥ 2的共凸逼近的中间情形）。
• 通过范数与误差估计，将约束逼近空间（如Δ(q)）与无约束空间进行比较，以评估逼近阶。
• 通过Whitney型不等式与Jackson-Stechkin型估计推导理论结果，特别关注参数n、r、k与q的依赖关系。
• 分析包括详细表格，总结在不同条件下误差估计的有效性，并引用基础性与近期研究成果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，q-单调逼近的逐点与一致估计成立，又在何种条件下不成立？
• RQ2 形状保持逼近的逼近阶与无约束逼近相比，其误差衰减率如何？
• RQ3 Ditzian-Totik型与Nikolskii型光滑模在量化形状保持逼近误差中起什么作用？
• RQ4 在共凸与共单调逼近中，'⊕'、'⊘'与'⊖'情形有何区别，它们如何影响误差估计？
• RQ5 对于具有给定光滑性与形状约束的函数，无约束与形状保持逼近之间的α-关系是否成立？

主要发现

• 对于q ≥ 4的q-单调逼近，形如 |f(x)−Pn(x)| ≤ c(k,r)ρn^r(x)ωk(f^(r),ρn(x)) 的逐点估计成立，其中c依赖于k、r与f，但不关于所有f一致。
• 在s ≥ 2的共凸情形下，出现'⊘'情形：估计成立，其中c依赖于f与Ys，但不存在与f无关的通用常数c。
• 在共单调逼近中，Whitney型不等式 E_{k+r}^{(1)}(f,Ys) ≤ c(k,r,Ys)ωk(f^(r),1) 支持'⊕'情形下逐点估计的有效性。
• 论文证实，当r ≥ 1时，'⊕'情形在共单调逼近中成立；而当r = 0时，仅在s ≥ 2时成立。
• 对于凸逼近（q=2），在'⊕'情形下，估计 |f(x)−Pn(x)| ≤ c(k,r)ρn^r(x)ωk(f^(r),ρn(x)) 有效，参考LS2002、DGS2002与DLS2010a。
• 单调逼近的α-关系成立：若 n^αEn(f) ≤ 1，则 n^αEn^{(1)}(f) ≤ c(α,N) 对于 n ≥ N* 成立，表明逼近阶的损失是受控的。