[论文解读] Uniform approximation of fractional derivatives and integrals with application to fractional differential equations

Hassan Khosravian‐Arab, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种基于伯恩斯坦多项式的数值方法，用于在卡波托和黎曼-刘维尔意义下统一逼近分数阶导数与积分，从而实现分数阶微分方程（FODEs）的精确且稳定的求解。该方法实现了逼近多项式分数阶导数与积分的统一收敛性，且对线性和非线性FODEs，其收敛速率与稳定性均得到严格证明。

ABSTRACT

It is well known that for every $f\in C^m$ there exists a polynomial $p_n$ such that $p^{(k)}_n ightarrow f^{(k)}$, $k=0,\ldots,m$. Here we prove such a result for fractional (non-integer) derivatives. Moreover, a numerical method is proposed for fractional differential equations. The convergence rate and stability of the proposed method are obtained. Illustrative examples are discussed.

研究动机与目标

• 解决涉及非整数阶导数与积分的分数阶微分方程（FODEs）缺乏即用且鲁棒的数值算法的问题。
• 通过证明伯恩斯坦多项式逼近在卡波托和黎曼-刘维尔意义下对分数阶导数的统一收敛性，将经典魏尔斯特拉斯逼近定理推广至分数阶导数。
• 基于伯恩斯坦多项式，开发一种通用且计算高效的数值方案，用于求解线性和非线性FODEs。
• 在标准利普希茨和霍尔德型假设下，建立所提方法的理论收敛速率与稳定性条件。
• 通过数值实例验证该方法的有效性，包括具有已知精确解的情况以及精确解未知的非线性问题。

提出的方法

• 利用伯恩斯坦多项式逼近解函数及其分数阶导数，利用其可同时逼近函数及其导数的性质。
• 通过证明当整数 $ k $ 时 $ B_n^{(k)}(f;x) \to f^{(k)}(x) $ 一致收敛，并借助积分表示将该结论推广至分数阶导数。
• 通过涉及核 $ (t-z)^{\alpha-1} $ 的积分算子，基于黎曼-刘维尔和卡波托定义，表述伯恩斯坦多项式逼近的分数阶导数。
• 通过分析精确分数阶算子与其伯恩斯坦多项式逼近之间的差异，推导分数积分与导数逼近的误差界。
• 通过格朗沃尔型不等式和梅塔格-莱夫勒函数 $ E_{\alpha,\alpha}(\cdot) $，界定扰动FODE解之间的差异，从而建立稳定性。
• 通过时间区间离散化，并在高斯-勒让德点或等价求积规则处进行配点，求解由此导出的代数方程组，实现方法的数值实施。

实验结果

研究问题

• RQ1 伯恩斯坦多项式能否用于在卡波托和黎曼-刘维尔意义下实现分数阶导数与积分的统一逼近？
• RQ2 伯恩斯坦多项式逼近分数阶导数的收敛速率是多少？其与被逼近函数光滑性之间的关系如何？
• RQ3 如何将所提出的逼近方法嵌入数值方案中，以求解具有保证稳定性的分数阶微分方程？
• RQ4 当该方法应用于具有或不具有已知精确解的非线性FODEs时，其行为表现如何？
• RQ5 随着多项式次数 $ n $ 的增加，逼近误差如何演变，特别是当精确解为低次多项式时？

主要发现

• 该方法实现了伯恩斯坦多项式 $ B_n(f;x) $ 的 $ m $ 阶导数对函数 $ f^{(m)}(x) $ 的 $ m $ 阶经典导数的统一收敛性，且通过积分表示可推广至分数阶导数。
• 对于属于 $ C^p[0,1] $ 的函数，当 $ n \to \infty $ 时，伯恩斯坦多项式 $ p $ 阶导数一致收敛于函数的 $ p $ 阶导数，其渐近误差项由 $ x(1-x)f''(x) $ 决定，依据沃罗诺夫斯卡娅定理。
• 在适当的光滑性条件下，分数阶导数逼近的收敛速率为 $ \mathcal{O}(1/n) $，误差界通过积分核分析推导得出。
• 所提FODE数值方法在右端项满足利普希茨条件时被证明是稳定的，解的误差被有界于 $ C \|f - f'\| $，其中常数 $ C $ 依赖于梅塔格-莱夫勒函数 $ E_{\alpha,\alpha}(\Lambda t^\alpha) $。
• 在例5.7中，当精确解为5次多项式时，$ n=5 $ 即达到机器精度，且当 $ n>5 $ 时误差增加，证实了该方法对多项式解的最优性。
• 例5.6–5.9的数值结果证实了该方法的有效性，对线性和非线性FODEs均表现出高精度，即使精确解未知，且随着 $ n $ 增加，收敛性保持一致。