[论文解读] Uniform behavior of families of Galois representations on Siegel modular forms and the Endoscopy Conjecture

Luís Dieulefait|ArXiv.org|Apr 27, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文为具有重数一和半稳定约化、权 $k > 3$ 的亏格二Siegel尖形式所关联的Galois表示建立了统一性原理：若在相容表示族中某个 $\ell$-进表示在奇素数 $\ell_0$ 处可约，则族中所有表示均不可约。结合Serre的模性猜想（现为定理），此结果证明了内形猜想，表明不可约分量通过扭化来自经典模形式。

ABSTRACT

We prove the following uniformity principle: if one of the Galois representations in the family attached to a genus two Siegel cusp form of weight $k>3$, "semistable" and with multiplicity one, is reducible (for an odd prime $p$),then all the representations in the family are reducible. This, combined with Serre's conjecture (which is now a theorem) gives a proof of the Endoscopy Conjecture.

研究动机与目标

• 建立与亏格二Siegel尖形式相关联的相容表示族中Galois表示不可约性的统一性原理。
• 将此前关于权1形式的不可约性与大像性质结果推广至一般半稳定情形。
• 证明在相容族中，若在某一个素数处可约，则对所有素数均不可约。
• 通过统一性与Serre猜想（现为定理）的结合，证明在半稳定情形下内形猜想成立。

提出的方法

• 利用Taylor关于Fontaine-Mazur猜想及奇二维Galois表示的亚纯L函数延拓的结果。
• 应用$p$-进Hodge理论分析惯性作用，并将Ribet关于半稳定二维表示的结果推广至更高权情形。
• 运用Chebotarev密度定理与Galois群论，从局部可约性推导出全局统一性。
• 处理非绝对不可约性时，使用特征多项式系数域（而非定义域）作为工具。
• 从4维Galois表示的分量构造相容的二维表示族。
• 应用Serre猜想（现为定理）推导出2维分量的模性，证明其来自权为2和$2k-2$的经典模形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，相容族中单个$\ell$-进Galois表示的可约性可推出族中其余表示的可约性？
• RQ2 能否在与Siegel模形式相关联的四维辛Galois表示相容族中建立统一可约性？
• RQ3 统一可约性与Serre模性猜想的结合如何导致内形猜想？
• RQ4 在统一性结果中，假设$\ell_0 > 4k - 5$的条件在多大程度上可被移除？
• RQ5 半稳定性在确保可约性在相容族中为统一性质方面起什么作用？

主要发现

• 若亏格二Siegel尖形式（权$k > 3$）的$\ell_0$-进Galois表示在某个奇素数$\ell_0 \nmid N$处可约，则相容族中所有表示均不可约。
• 统一性结果对所有素数$\ell_0 > 2$成立，已去除早期对$\ell_0 > 4k - 5$的限制。
• 当形式非Saito-Kurokawa型时，可约分量必为两个具有相同行列式的不可约二维表示。
• 通过Serre猜想，Galois表示的2维分量被证明是模形式，分别来自权为2和$2k-2$的经典模形式。
• 在半稳定情形下，内形猜想已得证：4维Galois表示的不可约分量模形式化（至扭化）。
• 通过Skinner与Urban的近期工作，该结果可推广至非半稳定情形，从而在一般情况下完全确认了这些族的内形猜想。