[论文解读] Uniform boundedness of rational points and preperiodic points

Bjorn Poonen|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了在数域及ℚ的有限生成扩张上，代数簇与动力系统族中理性点与预周期点的统一有界性。它建立了理性点与预周期点统一有界性问题之间的等价关系，并表明Morton–Silverman猜想的正解将蕴含阿贝尔簇上扭点的统一有界性。

ABSTRACT

We ask questions generalizing uniform versions of conjectures of Mordell and Lang and combining them with the Morton--Silverman conjecture on preperiodic points. We prove a few results relating different versions of such questions.

研究动机与目标

• 研究ℚ的有限生成扩张上代数簇族中理性点的统一有界性。
• 将Mordell–Lang与Bombieri–Lang型猜想推广至高维与高亏格族。
• 探讨代数簇自同态下预周期点的统一有界性类比。
• 建立不同域扩张与几何族中统一有界性不同表述之间的逻辑等价关系。
• 将Morton–Silverman关于预周期点的猜想与阿贝尔簇上扭点的统一有界性联系起来。

提出的方法

• 通过有限型分解将一般统一有界性问题约化为仿射概形的情形。
• 应用限制标量方法，将度-D扩张上的有界性关系与基域上的有界性联系起来。
• 利用Néron模型与基变换理论，构造代数簇与动力系统的普遍族。
• 运用Skolem技巧，将多项式方程组约化为仿射空间中的四次超曲面。
• 应用Zarhin技巧，将阿贝尔簇的研究约化为主极化情形，从而可使用普遍族。
• 通过相对Weil限制的构造，建立度-D扩张与基域上统一有界性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对每个 n ≥ 1，是否存在一个统一的上界 B_n，使得在ℚ上任意具有有限多个有理点的𝔸^n 中的四次超曲面，其有理点数量不超过 B_n？
• RQ2 对于ℚ的有限生成扩张 k 上的有限型 k-概形态射 π: X → S，当 X_s(k) 有限时，集合 {#X_s(k) : s ∈ S(k)} 是否有限？
• RQ3 对固定的度 D，集合 {#PrePer(f_s, L) : [L:k] = D, s ∈ S(L)} 是否有限，其中 f_s 是纤维 X_s 上的自映射？
• RQ4 Morton–Silverman关于预周期点的猜想是否蕴含数域上阿贝尔簇上扭点的统一有界性？
• RQ5 数域上理性点的统一有界性问题是否与任意ℚ的有限生成扩张上的问题等价？

主要发现

• 问题 1.2（有限生成域上理性点的统一有界性）与问题 1.3（有界度扩张）对任意ℚ的有限生成扩张 k 等价。
• ℚ 上𝔸^n 中四次超曲面上理性点的统一有界性，蕴含所有亏格 >1 曲线在数域上理性点的统一有界性。
• 若问题 1.1（四次统一有界性）有正解，则将蕴含Caporaso–Harris–Mazur猜想在数域情形的正解。
• Morton–Silverman猜想蕴含数域上阿贝尔簇上扭点的统一有界性，此结论通过椭圆曲线上的 2-同源映射得以证明。
• 当 X 与 S 为拟射射时，问题 3.2（度-D 扩张上预周期点的统一有界性）与基情形 D=1 等价，此由标量的Weil限制构造实现。
• 限制标量构造确保：即使 X 不是仿射概形，基域上的统一有界性也蕴含所有度-D 扩张上的统一有界性。