[论文解读] Uniform bounds on $S$-integral points in backward orbits

R. Padhy, S. S. Rout|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2026

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 0

一句话总结

本文在向后轨道中围绕幂映射 φ(z)=z^d 的 S-整点数量及其 Galois 轨道建立了统一界限，相对于非前周期点在数域上的表现。

ABSTRACT

Let $K$ be a number field with algebraic closure $\overline{K}$ and let $S$ be a finite set of places of $K$ containing all the archimedean places. It is known from Silverman's result that a forward orbit of a rational map $φ$ contains finitely many $S$-integers in the number field K when $φ^2$ is not a polynomial. Sookdeo stated an analogous conjecture for the backward orbits of a rational map $φ$ using a general $S$-integrality notion based on the Galois conjugates of points. He proved his conjecture for the power map $φ(z) =z^d$ for $d \geq 2$ and consequently for Chebyshev maps (J. Number Theory 131 (2011), 1229-1239). In this paper, we establish uniform bounds on the number of $S$-integral points in the backward orbits of any non-zero $β$ in $K$, relative to a non-preperiodic point $α\in \mathbb{P}^1(\overline{K})$, under the power map $φ(z) =z^d $.

研究动机与目标

• 以动机与研究目标为核心，研究相对于非前周期点的向后轨道中 S-整点的有限性与统一性。
• 在使用与共轭同态相关的 S-整合概念下，将 Silverman 型前向/逆向轨道有限性扩展到向后轨道。
• 给出与域次数和集合地方 S 相关的显式统一界限，并描述整点向后点的轨道结构。

提出的方法

• 定义相对于基点的 S-整性并建立向后轨道 O^{-}_{φ}(β) 的框架。
• 利用 Berkovich 空间与 Laplacian 研究标准高度与平衡测度。
• 使用 Arakelov-Zhang 配对关联代数度量与同构集合的高度。
• 应用 Favre–Rivera-Liˈtelier 的定量等度分布结果来控制向后迭代点的分布。
• 借助对数形式线性组合得到关于 [K:Q] 与 |S| 的显式统一界限。
• 推导两条主要界限：(i) 定理 1.2 给出对 |G_{K}(γ)| 的统一界限；(ii) 定理 1.3 给出对向后迭代 S-整点的更精细划分为有限数量的 Galois 轨道。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定一个非前周期基点，是否存在一个关于 φ(z)=z^d 的向后轨道中的 S-整点数量的统一界限，与具体向后点无关？
• RQ2 统一界限是否仅依赖于场数据 [K:Q]、地方集合 S 以及映射 φ，且是否可将向后- S-整点组织成有限并集的 Galois 轨道？
• RQ3 等度分布与 Arakelov-Zhang 配对如何影响向后- S-整点的分布与计数？
• RQ4 对数形式线性组合是否能给出以 [K:Q] 与 |S| 为变量的有效常数，从而界定向后轨道共轭点？

主要发现

• 存在一个常数 C=C([K:Q],|S|,φ)，使得任何 γ∈O^{-}_{φ}(β) 在相对于 α 的 S-整性下，当 α 不是 φ-前周期时，有 |G_{K}(γ)|<C。
• 存在一个更精细的界限（定理 1.3），常数 C_{1}=C_{1}(|S|,φ) 使得 |G_{K}(γ)|>C_{1}[K:Q]^{8} 的向后迭代 S-整点集合是至多 |S_fin|· Gal(¯K/K) 的轨道并集。
• 该方法将向后迭代点的定量等度分布与 Arakelov-Zhang 配对结合起来，以连接高度与测度。
• 该结果依赖于 Berkovich 空间、标准高度与 adelic 度量的框架，为跨数域提供统一性。
• 本文在此设定下证明了向后轨道中的 S-整点有限性，扩展了先前对幂映射和切比雪夫映射的已知结果。