[论文解读] Uniform convergence of conditional distributions for absorbed one-dimensional diffusions

Nicolas Champagnat, Denis Villemonais|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用 26

一句话总结

本文建立了吸收型一维扩散过程在总变差距离下指数收敛至唯一拟平稳分布的必要与充分条件，证明了对所有初始分布的统一收敛性。核心结果将此收敛性与进入边界性质及尺度函数的矩条件相联系，应用于严格局部鞅和带跳过程。

ABSTRACT

This article studies the quasi-stationary behaviour of absorbed one-dimensional diffusions. We obtain necessary and sufficient conditions for the exponential convergence to a unique quasi-stationary distribution in total variation, uniformly with respect to the initial distribution. An important tool is provided by one dimensional strict local martingale diffusions coming down from infinity. We prove under mild assumptions that their expectation at any positive time is uniformly bounded with respect to the initial position. We provide several examples and extensions, including the sticky Brownian motion and some one-dimensional processes with jumps.

研究动机与目标

• 刻画吸收型一维扩散过程的条件分布在总变差距离下对所有初始分布一致指数收敛至拟平稳分布的性质。
• 识别该收敛性在所有初始分布上一致成立的必要与充分条件。
• 建立该收敛性质与严格局部鞅从无穷大下降至有限值的行为之间的联系。
• 将结果推广至带跳过程以及时变或分段确定性动力学的模型。
• 提供速度测度与拟平稳分布之间显式公式，实现具有预设拟平稳律的扩散过程的构造。

提出的方法

• 推导一个涉及进入边界和通过尺度函数对生存概率进行有界控制的准则（条件B）。
• 利用一维扩散过程与尺度函数的理论，分析拟平稳行为与吸收时间。
• 通过证明其在任意正时间的期望值在所有初始位置上一致有界，分析严格局部鞅。
• 应用分部积分法与狄尼公式的技巧，验证生成元在合适函数空间中对测试函数的作用。
• 通过泊松过程构造耦合，将原扩散过程与一个修正过程进行比较，从而获得统一的遍历性估计。
• 应用耦合方法证明统一的最小化条件与 hitting 时间条件（A1, A2），确保统一混合性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，吸收型一维扩散过程的条件分布会以指数速度在总变差距离下一致收敛至唯一的拟平稳分布？
• RQ2 统一指数收敛性如何与进入边界性质及尺度函数在无穷远处的行为相关联？
• RQ3 在何种条件下，严格局部鞅扩散过程在任意固定正时间的期望值在所有初始位置上一致有界？
• RQ4 统一收敛性是否可推广至带跳扩散过程或时变动力学过程？
• RQ5 如何显式构造一个自然尺度上的扩散过程，使其具有给定的概率测度作为唯一的拟平稳分布？

主要发现

• 当且仅当右边界为进入边界，且存在 t, A > 0，使得对所有 x > 0 有 P_x(τ_∂ > t) ≤ A s(x)，其中 s 为尺度函数时，吸收型一维扩散过程的条件分布以总变差距离一致指数收敛至唯一的拟平稳分布。
• 对于从无穷大下降至有限值的严格局部鞅扩散过程，若在无穷远处速度测度的振荡受温和控制，则对所有 t > 0 有 sup_{x>0} E_x[Z_t] < ∞。
• 该结果表明，对所有 x > 0 有 E_x[Z_t] < x 与对所有 t > 0 有 sup_{x>0} E_x[Z_t] < ∞ 等价，且对形如 dZ_t = Z_t^α dB_t 的 SDE，当 α > 1 时该条件成立。
• 条件 (B) 已在几乎所有从无穷大下降并几乎必然在有限时间内吸收至 0 的扩散过程中得到验证。
• 推导出自然尺度上扩散过程的速度测度与其拟平稳分布之间的显式公式。
• 给定 (0,∞) 上满足温和条件的概率测度 α 与速率 λ₀ > 0，存在唯一一个自然尺度上的扩散过程，其速度测度可显式构造，使得 α 为其唯一的拟平稳分布，吸收速率为 λ₀。