[论文解读] Uniform Convergence of Multivariate Spectral Density Estimates

Wei Biao Wu, Paolo Zaffaroni|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Statistical Methods and Inference参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文在温和 mixing 条件下，利用函数依赖度量量化依赖性，建立了多元滞后窗谱密度估计量的最优一致矩收敛速率。通过推导估计量与其期望之间最大偏差的紧界，证明了在弱且可验证的矩和 mixing 条件下，多元和一元过程均存在一致矩收敛。

ABSTRACT

We consider uniform moment convergence of lag-window spectral density estimates for univariate and multivariate stationary processes. Optimal rates of convergence are obtained under mild and easily verifiable conditions. Our theory complements earlier results which primarily concern weak or in-probability convergence.

研究动机与目标

• 在最小且可验证的矩和依赖条件下，建立多元谱密度估计量的一致矩收敛性。
• 将现有的弱收敛或依概率收敛结果推广至几乎必然收敛和基于矩的一致收敛。
• 为具有弱依赖性的多元时间序列谱密度估计提供最优收敛速率。
• 建立一个函数依赖度量框架，以量化非线性、非马氏过程中的依赖性。
• 将一元谱估计结果推广至多元谱估计，并给出估计量最大偏差的显式界。

提出的方法

• 基于替换时间 0 处的创新对过程的影响，使用函数依赖度量 $\delta_{t,p}^{[i]} = \|Z_{it} - Z_{it,\{0\}}\|_p$ 来量化依赖性。
• 定义依赖度量 $\Theta_{m,p}^{[i]}$、$\Psi_{m,p}^{[i]}$ 和 $d_{m,p}^{[i]}$，以表征依赖性随时间的衰减。
• 应用关于归一化最大偏差 $Q_{ij}(\lambda) = T(\hat{f}_{Tij}(\lambda) - \mathbb{E}[\hat{f}_{Tij}(\lambda)])$ 的大偏差不等式。
• 通过尾部积分和指数矩界，推导 $\| \max_{\lambda} |Q_{ij}(\lambda)| \|_\nu$ 的矩界。
• 使用三角多项式逼近，通过离散网格 $\lambda_l = \pi l / B_T$ 控制频率域上的最大值。
• 通过控制 $\delta_{t,p}^{[i]}$ 和 $\Theta_{m,p}^{[i]}$ 的衰减条件，控制 $L^p$-范数下的最大偏差，从而建立一致矩收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱依赖条件下，多元谱密度估计量的一致矩收敛最优速率是什么？
• RQ2 函数依赖度量如何用于量化非线性、非马氏时间序列中的依赖性？
• RQ3 在何种条件下，谱估计量的最大偏差在矩意义下收敛于 Gumbel 分布？
• RQ4 收敛结果能否从线性过程推广至具有弱依赖性的广义严格平稳过程？
• RQ5 何种矩和 mixing 条件足以确保多元谱密度估计在 $L^p$ 意义下的一致收敛？

主要发现

• 在 $\delta_{t,p}^{[i]} = O(\rho^t)$ 且 $0 < \rho < 1$ 的条件下，本文证明 $\| \max_{\lambda} |Q_{ij}(\lambda)| \|_\nu = O(\theta_T)$，其中 $\theta_T$ 是依赖于 $T$、$B_T$ 和依赖度量 $\Theta_{0,p}^{[i]}$ 的速率。
• 在温和条件下可达到最优收敛速率：$\mathbb{E}[Z_0] = 0$，$\|Z_0\|_p < \infty$ 对于 $p > 4$，且 $B_T = O(T^b)$，其中 $0 < b < 1$。
• 归一化最大偏差 $Q(\lambda)/\sqrt{T B_T}$ 依分布收敛于均值为 $\kappa f^2(\lambda)$ 的正态变量，且最大偏差满足 Gumbel 极限定理。
• 关键结果为：在所述条件下，$\| \max_{0 \leq l \leq B_T} |Q(\lambda_l^*)| \|_\nu $ 依分布收敛于 $\|G\|_\nu$，其中 $G$ 服从 Gumbel 分布。
• 依赖度量 $\delta_{t,p}^{[i]}$ 可从指数衰减弱化为多项式衰减 $O(t^{-\alpha})$，其中 $\alpha > \max[1/2 - (p-4)/(2\delta p), 2\delta/p]$，从而扩展了适用范围。
• 该方法在广义弱依赖过程类下，对所有 $1 \leq i,j \leq n$，均给出了谱估计量偏离其期望的统一 $L^p$ 界。