[论文解读] Uniform distribution of subpolynomial functions along primes and applications

Vitaly Bergelson, Grigori Kolesnik+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用 3

一句话总结

该论文证明了，若 $ f \in H $ 为 Hardy 空间中的次多项式函数，则 $ f $ 沿素数模 1 均匀分布当且仅当其在素数上的取值模 1 均匀分布。这一等价关系使得动力系统中遍历理论与组合数学结果得以显著推广，包括关于多项式与次多项式序列沿素数的新密度定理与回归定理，拓展了该领域在均匀分布与动力系统回归方面的既有工作。

ABSTRACT

Let $H$ be a Hardy field (a field consisting of germs of real-valued functions at infinity that is closed under differentiation) and let $f \in H$ be a subpolynomial function. Let $\mathcal{P} = \{2, 3, 5, 7, \dots \}$ be the (naturally ordered) set of primes. We show that $(f(n))_{n \in \mathbb{N}}$ is uniformly distributed mod 1 if and only if $(f(p))_{p \in \mathcal{P}}$ is uniformly distributed mod 1. This result is then utilized to derive various ergodic and combinatorial statements which significantly generalize the results obtained in [BKMST].

研究动机与目标

• 建立 Hardy 空间 $ H $ 中次多项式函数 $ f \in H $ 在 $ \mathbb{N} $ 上模 1 均匀分布与其限制在素数 $ \mathcal{P} $ 上模 1 均匀分布之间的基本等价关系。
• 推广此前关于素数与类似多项式序列的遍历与组合结果，涉及回归与密度问题。
• 将 Furstenberg 对应原理的应用范围扩展至在平移素数上取值的次多项式与多项式序列。
• 证明差集 $ \{(p-1)^{\alpha_i}, [(p-1)^{\beta_j}] \} $ 在正上 Banach 密度集合中具有正的下相对密度。
• 在函数增长与无理性条件较弱的前提下，证明序列 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ 模 1 均匀分布。

提出的方法

• 利用 Hardy 空间框架分析在微分下封闭且具有受控增长的次多项式函数。
• 应用 Weyl 准则与指数和估计，建立沿素数模 1 均匀分布的结论。
• 通过圆法与 Bombieri–Vinogradov 型估计，将问题约化为沿素数的线性与多项式相位的等分布性。
• 在希尔伯特空间中利用谱分解，将函数分解为有理部分与完全弱混合部分，以分析遍历平均。
• 运用对应原理，将遍历结果转化为关于正上 Banach 密度集合的组合命题。
• 构造线性映射 $ L $，将多项式与次多项式序列嵌入高维构型中，以进行密度分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于次多项式函数 $ f \in H $，序列 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ 模 1 均匀分布？
• RQ2 当 $ (f(n))_{n \in \mathbb{N}} $ 模 1 均匀分布时，其在 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ 上也均匀分布的条件是什么？
• RQ3 能否证明形如 $ ((p-h)^{\alpha_i}, [(p-h)^{\beta_j}]) $ 的序列在希尔伯特空间中的遍历平均强收敛？
• RQ4 集合 $ D_h = \{ ((p-h)^{\alpha_i}, [(p-h)^{\beta_j}]) \} $ 在正上 Banach 密度集合中的相对密度是多少？
• RQ5 如何将对应原理适配于涉及次多项式函数在素数上整数部分与小数部分的序列？

主要发现

• 对于任意次多项式 $ f \in H $，序列 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ 模 1 均匀分布当且仅当 $ (f(n))_{n \in \mathbb{N}} $ 模 1 均匀分布。
• 对于任意保测的 $ \mathbb{Z}^{k+l} $-作用及满足 $ \mu(A) > 0 $ 的集合 $ A $，当 $ h = \pm 1 $ 时，集合 $ \{ \mathbb{d} \in D_h : \mu(A \cap T^{-\mathbb{d}}A) \geq \mu^2(A) - \epsilon \} $ 在 $ D_h $ 中具有正的下相对密度。
• 对于任意满足 $ d^*(E) > 0 $ 的集合 $ E \subset \mathbb{Z}^{k+l} $，集合 $ \{ p \leq N : \text{向量} \, ((p\pm1)^{\alpha_i}, [(p\pm1)^{\beta_j}]) \in E - E \} $ 的下密度有正的下界，该下界仅依赖于 $ d^*(E) $。
• 此类素数的归一化计数的下极限满足 $ \liminf_{N \to \infty} \frac{1}{\pi(N)} \left| \{ p \leq N : \cdots \in E - E \} \right| \geq d^*(E)^2 $。
• 即使指数 $ \alpha_i $ 为正整数而 $ \beta_j $ 为正非整数，该结果仍然成立，从而推广了关于素数上多项式序列的经典结果。
• 该方法适用于次多项式函数 $ \xi_j(p) $ 的有理线性组合，只要其线性组合仍属于 Hardy 空间 $ H $。