[论文解读] Uniform even subgraphs and graphical representations of Ising as factors of i.i.d

Omer Angel, Gourab Ray+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2021

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 4

一句话总结

本文证明，在各种条件下（包括非负外场），环 $O(1)$ 模型——伊辛模型的关键图示表示——在单模随机根图上是 i.i.d. 的因子。主要结果表明，在具有局部有限对偶的单模平面图上，自由伊辛模型的梯度是 i.i.d. 的因子，该结果通过均匀偶子图的局部极限理论以及对带线性均匀生成树（WUSF）的 i.i.d. 因子的构造得以实现。

ABSTRACT

We prove that the Loop O(1) model, a well-known graphical expansion of the Ising model, is a factor of i.i.d. on unimodular random rooted graphs under various conditions, including in the presence of a non-negative external field. As an application we show that the gradient of the free Ising model is a factor of i.i.d. on unimodular planar maps having a locally finite dual. The key idea is to develop an appropriate theory of local limits of uniform even subgraphs with various boundary conditions and prove that they can be sampled as a factor of i.i.d. Another key tool we prove and exploit is that the wired uniform spanning tree on a unimodular transient graph is a factor of i.i.d. This partially answers some questions posed by Hutchcroft.

研究动机与目标

• 确定无限图上的环 $O(1)$ 模型是否可表示为 i.i.d. 的因子，这是随机过程与统计力学中的一个关键问题。
• 将 i.i.d. 因子理论扩展至单模随机根图上的均匀偶子图和带线性均匀生成树（WUSF）。
• 通过 i.i.d. 因子表示，解决 Hutchcroft 提出的关于非阿梅尼群上伊辛模型相变连续性的问题。
• 建立自由与带线性环 $O(1)$ 测度在无限图上作为图 i.i.d. 因子出现的条件，特别是在平面图与瞬态情形下。
• 提供一种替代的、显式的几乎必然证明，说明环 $O(1)$ 测度在 exhausting 序列上的收敛性，且该证明独立于伊辛关联函数的收敛性。

提出的方法

• 发展了具有各种边界条件的均匀偶子图的局部极限理论，证明其可作为 i.i.d. 的因子进行采样。
• 证明在单模瞬态图上，带线性均匀生成树（WUSF）是 i.i.d. 的因子，利用单模随机根图的性质与随机支配关系。
• 利用 FK-Ising 表示法，将环 $O(1)$ 模型与随机簇模型的均匀偶子图联系起来，借助对偶性与边/顶点权重参数。
• 应用 Timár 在平面图中通过有限度面生成圈的结果，为平面图上的自由环 $O(1)$ 模型构造 i.i.d. 因子。
• 使用保持自同构的可测函数定义图 i.i.d. 因子，确保在图自同构下不变且可测。
• 证明在平面性、对偶图局部有限性以及 FK-Ising 簇瞬态性等条件下，单模随机根图上的自由与带线性环 $O(1)$ 测度是 i.i.d. 的因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无限单模随机根图上的环 $O(1)$ 模型是 i.i.d. 的因子？
• RQ2 在单模瞬态图上，带线性均匀生成树（WUSF）是否是 i.i.d. 的因子？
• RQ3 自由伊辛模型的梯度是否可在具有局部有限对偶的单模平面图上表示为 i.i.d. 的因子？
• RQ4 若 FK-Ising 模型中每个顶点处仅有有限条测地线圈，是否能保证环 $O(1)$ 模型是 i.i.d. 的因子？
• RQ5 当 $x > 1$ 或 $y > 1$ 时，自由或带线性环 $O(1)$ 测度在无限图上是否仍定义良好且为 i.i.d. 的因子？

主要发现

• 当底层图瞬态且 FK-Ising 模型中每个顶点处仅有有限条测地线圈时，环 $O(1)$ 模型在单模随机根图上是 i.i.d. 的因子。
• 在单模瞬态图上，带线性均匀生成树（WUSF）是 i.i.d. 的因子，解决了 Hutchcroft 提出问题的一个部分情况。
• 在具有局部有限对偶的单模平面图上，自由伊辛模型的梯度是 i.i.d. 的因子，因为此类图上的自由环 $O(1)$ 模型是 i.i.d. 的因子。
• 在平面图中，有限度面的集合生成自由圈空间，为每个面分配随机奇偶性可得到自由环 $O(1)$ 模型的 i.i.d. 因子。
• 在阿梅尼、顶点传递的情形下，自由与带线性环 $O(1)$ 测度在临界点之外重合，因此可利用定理 1.1 结论得出 i.i.d. 因子性质。
• 当 $x > 1$ 或 $y > 1$ 时，环 $O(1)$ 模型仍可通过对偶性作为 i.i.d. 的因子：补全开放边或顶点可得到参数在 $[0,1]$ 内的模型，此时主定理适用。