[论文解读] Uniform Finite Generation of Compact Lie Groups and universal quantum gates

Domenico D’Alessandro|ArXiv.org|Nov 24, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文证明了，即使不要求一参子群为紧致，任一紧致连通李群的每个元素仍可被一个固定的有限李代数生成元集均匀有限生成为指数映射的乘积。该关键结果通过利用共轭和紧致性论证构造李代数基，将Lowenthal的均匀有限生成推广至一般紧致李群，对量子计算中的通用量子门合成具有直接意义。

ABSTRACT

Consider a compact connected Lie group $G$ and the corresponding Lie algebra $\cal L$. Let $\{X_1,...,X_m\}$ be a set of generators for the Lie algebra $\cal L$. We prove that $G$ is uniformly finitely generated by $\{X_1,...,X_m\}$. This means that every element $K \in G$ can be expressed as $K=e^{Xt_1}e^{Xt_2} \cdot \cdot \cdot e^{Xt_l}$, where the indeterminates $X$ are in the set $\{X_1,...,X_m \}$, $t_i \in \RR$, $i=1,...,l$, and the number $l$ is uniformly bounded. This extends a previous result by F. Lowenthal in that we do not require the connected one dimensional Lie subgroups corresponding to the $X_i$, $i=1,...,m$, to be compact. We discuss the consequence of this result to the question of universality of quantum gates in quantum computing.

研究动机与目标

• 建立使用任意一组线性无关李代数生成元对紧致连通李群进行均匀有限生成。
• 放松Lowenthal先前结果中对一参子群紧致性的假设。
• 将结果扩展至非负时间参数，与控制和量子系统中的物理可实现性相关。
• 为具有有界电路深度的通用量子门集提供理论基础。
• 统一并推广现有李群分解与量子控制方面的结果。

提出的方法

• 通过生成元的相似变换构造李代数基，确保线性无关性及李括积下的封闭性。
• 应用反函数定理，证明李群中单位元邻域可由基元素指数映射的乘积参数化。
• 利用递推关系 $ r_k = 2r_{k-2} + r_{k-1} + 1 $ 递归界定生成新基元素所需的共轭次数，从而导出因子数的统一有界性。
• 利用群的紧致性，通过有限个邻域平移覆盖 $ G $，确保所有群元素的统一生成。
• 通过证明正时间指数生成的半群为稠密且具有非空内部，从而等于整个群，将结果扩展至非负参数 $ t_i \geq 0 $。
• 结合Jurdjevic与Sussmann的定理3，证明在非负参数下实现统一生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致连通李群的每个元素是否可表示为固定有限李代数生成元指数映射的乘积，且因子数在所有群元素上均匀有界？
• RQ2 若不假设生成元所生成的一参子群为紧致，均匀有限生成性质是否仍成立？
• RQ3 是否可仅使用非负时间参数实现均匀生成，以符合物理控制系统的可实现性？
• RQ4 生成任意群元素所需指数因子数的最坏情况界是多少？
• RQ5 该结果如何推广先前关于通用量子门与量子控制的结果？

主要发现

• 任一紧致连通李群 $ G $ 的每个元素可表示为乘积 $ K = e^{Xt_1} e^{Xt_2} \cdots e^{Xt_l} $，其中 $ X \in \{X_1, \dots, X_m\} $，$ t_i \in \mathbb{R} $，且 $ l $ 在所有 $ K \in G $ 上均匀有界，即使不假设一参子群的紧致性。
• 因子数的统一有界性由 $ l \leq n + 2\sum_{k=1}^{n-m} r_k $ 给出，其中 $ r_k $ 满足递推关系 $ r_1 = 1, r_2 = 2, r_k = 2r_{k-2} + r_{k-1} + 1 $。
• 当时间参数被限制为非负时，该结果仍成立，即 $ t_i \geq 0 $，确保在控制与量子系统中的物理可实现性。
• 证明依赖于通过生成元共轭构造李代数基，随后利用紧致性与开覆盖论证，将局部生成扩展至整个群。
• 均匀有限生成结果意味着量子计算中的任意幺正演化都可使用有界深度的初等量子门电路实现。
• 该方法通过去除对一参子群紧致性的假设，推广并强化了Lowenthal的早期结果，扩大了其在所有紧致李群中的适用范围。