[论文解读] Uniform in time error estimates for fully discrete numerical schemes of a data assimilation algorithm

Hussain Ibdah, Cecilia F. Mondaini+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 53被引用 14

一句话总结

本文提出了一种针对二维纳维-斯托克斯方程的数据同化算法的全离散数值格式，采用半隐式与全隐式欧拉时间离散化方法，并结合谱伽辽金空间逼近。研究建立了数值解与参考解之间在 $L^2$ 和 $H^1$ 范数下的显式、时间一致的误差估计，证明了该格式在时间步长和伽辽金模态数量上均无条件稳定且收敛。

ABSTRACT

We consider fully discrete numerical schemes for a downscaling data assimilation algorithm aimed at approximating the velocity field of the 2D Navier-Stokes equations corresponding to given coarse mesh observational measurements. The time discretization is done by considering semi- and fully-implicit Euler schemes, and the spatial discretization is based on a spectral Galerkin method. The two fully discrete algorithms are shown to be unconditionally stable, with respect to the size of the time step, number of time steps and the number of Galerkin modes. Moreover, explicit, uniform in time error estimates between the fully discrete solution and the reference solution corresponding to the observational coarse mesh measurements are obtained, in both the $L^2$ and $H^1$ norms. Notably, the two-dimensional Navier-Stokes equations, subject to the no-slip Dirichlet or periodic boundary conditions, are used in this work as a paradigm. The complete analysis that is presented here can be extended to other two- and three-dimensional dissipative systems under the assumption of global existence and uniqueness.

研究动机与目标

• 为针对二维纳维-斯托克斯方程的数据同化算法开发全离散数值格式。
• 在基于粗网格观测得到的参考解与数值解之间建立时间一致的误差界。
• 确保格式在时间步长、时间步数和伽辽金模态数量方面均无条件稳定。
• 将分析推广至满足全局存在性与唯一性假设的一般耗散系统。
• 在 $L^2$ 和 $H^1$ 范数下提供显式误差估计，且随时间增长保持有界。

提出的方法

• 时间离散化采用半隐式与全隐式欧拉格式。
• 空间离散化采用基于斯托克斯算子特征函数的谱伽辽金方法。
• 在修正后的纳维-斯托克斯系统中加入反馈控制（变向）项 $-\beta I_h(\mathbf{v} - \mathbf{u})$，以使粗尺度解与观测数据对齐。
• 分析技术包括能量估计、解在复平面上的解析延拓，以及用于控制解及其时间导数的柯西积分估计。
• 证明依赖于通过复分析与插值论证获得的解及其时间导数在 $\mathcal{D}(A)$-范数下的统一有界性。
• 分析在无滑移狄利克雷边界条件或周期性边界条件下进行，显式依赖于粘性系数 $\nu$、变向参数 $\beta$ 和特征值 $\lambda_1$ 等物理参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于二维纳维-斯托克斯方程，数据同化算法的全离散数值格式能否保持时间一致的误差界？
• RQ2 误差估计对时间步长、时间步数和伽辽金模态数量的依赖关系如何？
• RQ3 如何证明半隐式与全隐式欧拉格式结合谱伽辽金空间离散化时的无条件稳定性？
• RQ4 能否推导出在所有时间均有效的 $L^2$ 与 $H^1$ 范数下的显式误差界？
• RQ5 该分析在多大程度上可推广至其他具有全局解的耗散型偏微分方程？

主要发现

• 全离散格式在时间步长、时间步数和伽辽金模态数量方面均无条件稳定。
• 在 $L^2$ 与 $H^1$ 范数下，数值解与参考解之间导出了显式、时间一致的误差估计。
• 误差界显式依赖于物理参数：粘性系数 $\nu$、变向参数 $\beta$ 与第一特征值 $\lambda_1$，其增长受 $\log(M_1/\nu\lambda_1^{1/2})$ 控制。
• 解及其时间导数的 $\mathcal{D}(A)$-范数在时间上一致有界，确保了长时间稳定性。
• 与文献 [26] 中已知结果相比，本研究对 $|A\mathbf{u}|$ 与 $|A\partial\mathbf{u}/\partial\xi|$ 的界更为严格。
• 结果可推广至其他二维与三维耗散系统，前提是解的全局存在性与唯一性成立。