[论文解读] Uniform in time estimates for the weak error of the Euler method for SDEs and a Pathwise Approach to Derivative Estimates for Diffusion Semigroups

Dan Crisan, Paul Dobson+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文建立了伊藤扩散过程的欧拉方法在时间上一致的弱误差收敛性的充分条件，依赖于关联扩散半群的空间导数的指数衰减性以及欧拉逼近的统一矩界。关键贡献在于提出一种新颖的路径方法来估计导数，基于大偏差原理，从而在向量场及其对易子不满足一致强非退化条件时仍能获得结果。

ABSTRACT

We present a criterion for uniform in time convergence of the weak error of the Euler scheme for Stochastic Differential equations (SDEs). The criterion requires i) exponential decay in time of the space-derivatives of the semigroup associated with the SDE and ii) bounds on (some) moments of the Euler approximation. We show by means of examples (and counterexamples) how both i) and ii) are needed to obtain the desired result. If the weak error converges to zero uniformly in time, then convergence of ergodic averages follows as well. We also show that Lyapunov-type conditions are neither sufficient nor necessary in order for the weak error of the Euler approximation to converge uniformly in time and clarify relations between the validity of Lyapunov conditions, i) and ii). Conditions for ii) to hold are studied in the literature. Here we produce sufficient conditions for i) to hold. The study of derivative estimates has attracted a lot of attention, however not many results are known in order to guarantee exponentially fast decay of the derivatives. Exponential decay of derivatives typically follows from coercive-type conditions involving the vector fields appearing in the equation and their commutators; here we focus on the case in which such coercive-type conditions are non-uniform in space. To the best of our knowledge, this situation is unexplored in the literature, at least on a systematic level. To obtain results under such space-inhomogeneous conditions we initiate a pathwise approach to the study of derivative estimates for diffusion semigroups and combine this pathwise method with the use of Large Deviation Principles.

研究动机与目标

• 建立伊藤扩散过程的欧拉方法在时间上一致的弱误差收敛性的充分条件。
• 发展一种在非一致强非退化条件下推导扩散半群导数估计的路径方法。
• 阐明李雅普诺夫条件、半群导数的指数衰减性与欧拉逼近矩界之间的相互关系。
• 证明时间一致弱误差收敛性蕴含遍历平均的收敛性。
• 提供在强非退化条件在空间上非一致时，半群导数指数衰减的充分条件。

提出的方法

• 引入基于流导数过程及其高阶导数的扩散半群导数估计的路径方法。
• 利用大偏差原理控制流及其导数的尾部行为，从而实现指数衰减估计。
• 将该方法应用于在向量场及其对易子具有非一致强非退化条件时，推导半群空间导数指数衰减的充分条件。
• 将路径方法导出的导数估计与欧拉逼近的矩界相结合，建立时间一致弱误差收敛性。
• 采用离散欧拉方案的连续时间插值方法，分析连续时间上的弱误差。
• 使用伊藤公式与泰勒展开来控制欧拉逼近的矩，特别是针对双曲余弦类非线性测试函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，伊藤扩散过程的欧拉方法的弱误差能与时间范围无关地实现时间一致收敛？
• RQ2 在向量场及其对易子具有非一致强非退化条件时，能否保证扩散半群空间导数的指数衰减？
• RQ3 李雅普诺夫型条件、指数导数衰减与欧拉逼近矩界之间存在何种关系？
• RQ4 该路径方法是否可在不假设一致椭圆性条件下，用于推导时间一致弱误差界？
• RQ5 时间一致弱误差收敛性是否蕴含欧拉方法遍历平均的收敛性？

主要发现

• 在两个条件下：半群导数的指数衰减性与欧拉逼近的统一矩界，本文建立了形式为 $ \sup_{t\geq 0}|\mathbb{E}[\varphi(X_t)] - \mathbb{E}[\varphi(Y_t^\delta)]| \leq K\delta $ 的时间一致弱误差界。
• 在较弱正则性条件下，证明了半群导数的指数衰减性是时间一致弱误差收敛性的充要条件。
• 本文构造了反例，表明仅指数导数衰减或仅矩界均不足以保证时间一致弱误差收敛。
• 该路径方法被应用于一类具有非一致强非退化性的SDE，推导出导数指数衰减的新充分条件。
• 该方法对退化噪声具有鲁棒性，尽管主要结果假设非退化噪声以保持清晰，退化情形的推广被建议为未来工作。
• 时间一致弱误差收敛性蕴含遍历平均的收敛性，如推论3.6所示。