[论文解读] Uniform LAN property of locally stable Lévy process observed at high frequency

D. O. Ivanenko, Alexei Kulik+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Probability and Risk Models参考文献 22被引用 8

一句话总结

本论文在高频率抽样下，为参数 θ = (β, γ) 建立了局部渐近正态性（LAN）的统一性质，适用于一个高斯过程 Xₜᶿ = βt + γZₜ + Uₜ，其中 Z 是局部 α 稳定 Lévy 过程，U 是活动性较低的干扰成分。该结果在 Z 的 Lévy 测度满足较弱条件时成立，并揭示在真正非对称情形下，LAN 极限定律需要非对角标准化，且渐近费雪信息矩阵具有与 α 稳定密度直接关联的简洁形式。

ABSTRACT

Suppose we have a high-frequency sample from the Lévy process of the form $X_t^θ=βt+γZ_t+U_t$, where $Z$ is a possibly asymmetric locally $α$-stable Lévy process, and $U$ is a nuisance Lévy process less active than $Z$. We prove the LAN property about the explicit parameter $θ=(β,γ)$ under very mild conditions without specific form of the Lévy measure of $Z$, thereby generalizing the LAN result of A\"ıt-Sahalia and Jacod (2007). In particular, it is clarified that a non-diagonal norming may be necessary in the truly asymmetric case. Due to the special nature of the local $α$-stable property, the asymptotic Fisher information matrix takes a clean-cut form.

研究动机与目标

• 为具有局部 α 稳定分量的高频率抽样 Lévy 过程中的参数 θ = (β, γ) 建立局部渐近正态性（LAN）性质。
• 将先前的 LAN 结果（特别是 Aït-Sahalia 和 Jacod 的结果）推广至活跃分量不一定是严格 α 稳定，而仅在原点附近为局部 α 稳定的情形。
• 证明 LAN 性质在比主要分量 Z 活动性更低的干扰 Lévy 过程 U 的一类中一致成立，从而确保对模型误设的鲁棒性。
• 阐明在真正非对称情形下，LAN 极限定律需要非对角标准化，与对称情形下通常采用的对角标准化形成对比。

提出的方法

• 基于 Le Cam 理论的 L₂-正则性技术，验证 LAN 条件。
• 应用基于 Malliavin 微积分的对数似然函数导数的积分表示，推导精确的 Lₚ-界。
• 利用高频率抽样下的似然函数的小时间近似，处理 Lévy 过程的不可解过渡密度。
• 通过过程及其得分函数的弱收敛性，结合一致可积性与紧致性论证，实施极限论证。
• 依赖特征函数分析与变量替换，证明得分过程有限维分布的收敛性。
• 建立归一化增量 ζₐ,ₜᶿ 的密度及其导数的统一有界性，确保在 θ 和干扰过程 U 上的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Lévy 测度满足较弱条件、且不要求完全 α 稳定性的情形下，高频率抽样 Lévy 过程中具有局部 α 稳定分量的 LAN 性质是否成立？
• RQ2 当底层 α 稳定过程为非对称时，LAN 极限定律的正确标准化方案是什么？
• RQ3 活动性较低的干扰 Lévy 过程 U 的存在如何影响得分函数的渐近分布？
• RQ4 是否可以在一类干扰过程 U 上统一建立 LAN 结果，以确保对 U 具体形式的鲁棒性？
• RQ5 在局部 α 稳定情形下，渐近费雪信息矩阵的显式形式是什么？其与 α 稳定密度有何关系？

主要发现

• LAN 性质在比主要分量 Z 活动性更低的干扰 Lévy 过程 U 的一类中一致成立，确保了对模型不确定性的鲁棒性。
• 在真正非对称情形下，LAN 极指定律需要非对角标准化，这与对称 α 稳定情形下通常采用的对角标准化形成对比。
• 渐近费雪信息矩阵具有简洁明确的形式，直接与 α 稳定密度相关，反映了局部 α 稳定过程的内在结构。
• 得分过程弱收敛于一个由 α 稳定特征函数决定协方差结构的高斯过程。
• 建立了归一化增量 ζₐ,ₜᶿ 的密度及其导数的统一有界性，这对 Lₚ-正则性论证至关重要。
• ζₐ,ₜᶿ 的特征函数对 θ 和干扰过程 U 的类均一致收敛于标准 α 稳定分布的特征函数。