[论文解读] Uniform large deviation principles for Banach space valued stochastic differential equations

Amarjit Budhiraja, Paul Dupuis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文通过利用对偶空间的弱-*拓扑，克服无限维空间中非紧致性的问题，为巴拿赫空间取值的随机微分方程（SDEs）在有界初值集上建立了统一的大型偏差原理（LDP）。关键贡献在于证明：在对偶空间的弱-*紧集上成立的统一拉普拉斯原理，可推出在原巴拿赫空间有界集上成立的统一LDP，从而实现对小噪声SDE（如随机反应-扩散方程和二维纳维-斯托克斯方程）首次 hitting 时间渐近分析。

ABSTRACT

We prove a large deviation principle (LDP) for a general class of Banach space valued stochastic differential equations (SDE) that is uniform with respect to initial conditions in bounded subsets of the Banach space. A key step in the proof is showing that a uniform large deviation principle over compact sets is implied by a uniform over compact sets Laplace principle. Because bounded subsets of infinite dimensional Banach spaces are in general not relatively compact in the norm topology, we embed the Banach space into its double dual and utilize the weak-$\star $ compactness of closed bounded sets in the double dual space. We prove that a modified version of our stochastic differential equation satisfies a uniform Laplace principle over weak-$\star $ compact sets and consequently a uniform over bounded sets large deviation principle. We then transfer this result back to the original equation using a contraction principle. The main motivation for this uniform LDP is to generalize results of Freidlin and Wentzell concerning the behavior of finite dimensional SDEs. Here we apply the uniform LDP to study the asymptotics of exit times from bounded sets of Banach space valued small noise SDE, including reaction diffusion equations with multiplicative noise and $2$-dimensional stochastic Navier-Stokes equations with multiplicative noise.

研究动机与目标

• 为巴拿赫空间取值的SDE建立统一的大型偏差原理（LDP），使其在有界初值集上一致成立，以克服无限维范数拓扑中相对紧致性的缺失。
• 将弗雷德林-温茨尔型首次 hitting 时间渐近分析从有限维推广至无限维情形，特别适用于带乘性噪声的小噪声SDE。
• 在双对偶空间中，于弱-*紧集上建立统一拉普拉斯原理，作为在原巴拿赫空间有界集上实现统一LDP的中间步骤。
• 将统一LDP应用于分析SPDE（如随机反应-扩散方程和二维随机纳维-斯托克斯方程）在有界区域中首次 hitting 时间的渐近行为。

提出的方法

• 将原巴拿赫空间 E 嵌入其双对偶空间 E**，利用阿劳格鲁定理（Alaoglu's Theorem）在 E** 中获得有界集的弱-*紧致性。
• 通过维纳过程的变分表示法，证明修改后SDE在 E** 的弱-*紧子集上满足统一拉普拉斯原理。
• 采用弱收敛方法，将拉普拉斯原理与LDP等价性推广至对紧集的一致性情形。
• 应用压缩原理，将 E** 中修改后方程的统一LDP回传至 E 中的原方程。
• 利用SDE的弱解满足含半群 S(t) 的积分方程的性质，通过强连续性与紧致性将 S(t) 扩张至 E**。
• 在 E** 中利用序列弱-*收敛与子列提取技术，通过紧致性论证确保半群作用的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在范数拓扑缺乏相对紧致性的前提下，为巴拿赫空间取值的SDE在有界初值集上建立一致的大型偏差原理？
• RQ2 如何利用双对偶空间上的弱-*拓扑恢复紧致性，从而在无限维空间中实现一致LDP？
• RQ3 在双对偶空间 E** 的弱-*紧集上成立的统一拉普拉斯原理，是否能推出在原巴拿赫空间 E 的有界集上成立的统一LDP？
• RQ4 该框架能否用于推导小噪声SPDE（如随机反应-扩散方程和二维随机纳维-斯托克斯方程）的首次 hitting 时间渐近行为？

主要发现

• 通过压缩原理，E** 中双对偶空间上弱-*紧集上的统一拉普拉斯原理可推出原巴拿赫空间 E 中有界集上的统一LDP。
• 证明显示，E** 中修改后的SDE在弱-*紧集上满足统一拉普拉斯原理，其关键依赖于变分表示法与紧致半群的性质。
• 半群 S(t) 可连续延拓至 E**，并保持收敛性质：若 E** 中初值序列 {x_n} 弱-*收敛，则 S(t)x_n 在 C([t1,T]:E) 和 Lp([0,T]:E) 中收敛（t1>0）。
• 对任意 E** 中的有界序列 {x_n}，存在子列使得 S(t)x_n 在 C([t1,T]:E) 和 Lp([0,T]:E) 中收敛至 S(t)x**，其中 x**∈E**。
• 统一LDP被用于推导SPDE中从有界集首次 hitting 时间的小噪声渐近行为，包括随机反应-扩散方程和二维随机纳维-斯托克斯方程。
• 该框架通过克服无限维巴拿赫空间中闭有界集的非紧致性拓扑障碍，将弗雷德林-温茨尔结果推广至无限维情形。