[论文解读] Uniform Lyndon interpolation for intuitionistic monotone modal logic

Amirhossein Akbar Tabatabai, Rosalie Iemhoff+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2022

Logic, programming, and type systems被引用 4

一句话总结

该论文通过一种新颖的终止型sequent演算，首次为直觉主义单调模态逻辑iM建立了统一Lyndon插值性质（ULIP）。该方法受Pitts对IPC的语法证明启发，利用证明论技术构造显式插值式，这是首个关于直觉主义非正规模态逻辑的此类结果，展示了该方法在非正规模态逻辑中的广泛适用性。

ABSTRACT

In this paper we show that the intuitionistic monotone modal logic $\mathsf{iM}$ has the uniform Lyndon interpolation property (ULIP). The logic $\mathsf{iM}$ is a non-normal modal logic on an intuitionistic basis, and the property ULIP is a strengthening of interpolation in which the interpolant depends only on the premise or the conclusion of an implication, respecting the polarities of the propositional variables. Our method to prove ULIP yields explicit uniform interpolants and makes use of a terminating sequent calculus for $\mathsf{iM}$ that we have developed for this purpose. As far as we know, the results that $\mathsf{iM}$ has ULIP and a terminating sequent calculus are the first of their kind for an intuitionistic non-normal modal logic. However, rather than proving these particular results, our aim is to show the flexibility of the constructive proof-theoretic method that we use for proving ULIP. It has been developed over the last few years and has been applied to substructural, intermediate, classical (non-)normal modal and intuitionistic normal modal logics. In light of these results, intuitionistic non-normal modal logics seem a natural next class to try to apply the method to, and we take the first step in that direction in this paper.

研究动机与目标

• 为直觉主义单调模态逻辑iM（一种基于直觉主义基础的非正规模态逻辑）建立统一Lyndon插值性质（ULIP）。
• 开发一种针对iM的终止型sequent演算，扩展G4ip系统，支持有效的证明搜索与插值。
• 展示一种构造性证明论方法在统一插值中的灵活性与通用性，适用于包括非正规模态逻辑在内的多种逻辑系统。
• 将统一插值结果的适用范围——此前局限于正规模态逻辑与中间逻辑——扩展至直觉主义非正规模态逻辑领域。
• 为未来在更广泛的直觉主义非正规模态逻辑类别中探索ULIP奠定基础。

提出的方法

• 该方法采用一种针对iM的终止型sequent演算G4w，其为Dyckhoff的G4ip的扩展，确保在无需额外约束的情况下证明搜索终止。
• 采用受Pitts对IPC的统一插值证明启发的语法证明策略，并针对iM中的模态词与极性进行调整。
• 插值式的构造依赖于极化公式：存在型插值式（∃♦p）与全称型插值式（∀∘p），通过在sequent上进行结构归纳定义。
• 证明通过在sequent演算推导结构上进行归纳，对最后应用的规则进行情况分析，确保插值式尊重变量的极性。
• 关键规则如（LM→）、（Lw）与（M）用于管理模态蕴含与结构条件，保持推导过程中插值式的有效性。
• 该方法确保插值式仅依赖于蕴含的前提或结论，并尊重命题变量的正负极性。

实验结果

研究问题

• RQ1 直觉主义单调模态逻辑iM是否满足统一Lyndon插值性质（ULIP）？
• RQ2 能否为iM开发一种支持有效证明搜索与插值的终止型sequent演算？
• RQ3 该构造性证明论方法在统一插值中的通用性在多大程度上可推广至直觉主义非正规模态逻辑？
• RQ4 与语义或模型论方法相比，该证明论方法在非正规模态逻辑中处理ULIP的复杂性如何？
• RQ5 在非正规模态扩展的直觉主义逻辑中，ULIP在何种结构与句法条件下可被确立？

主要发现

• 逻辑iM满足统一Lyndon插值性质（ULIP），这是首个关于任何直觉主义非正规模态逻辑的此类结果。
• 已开发出针对iM的终止型sequent演算G4w，其为G4ip的扩展，支持有效的证明搜索，并为插值证明提供支持。
• 通过极化公式显式构造了插值式：存在型插值式∃♦p与全称型插值式∀∘p，其通过在sequent上进行结构归纳定义。
• 该证明方法成功推广至iM这一非正规模态逻辑，其复杂度与正规模态逻辑的对应方法相当，表明该技术具有广泛适用性。
• 该方法生成的插值式仅依赖于蕴含的前提或结论，并尊重命题变量的极性，满足统一性条件。
• 结果证实，统一插值在模态逻辑中是一种罕见性质，而iM是具有ULIP的小型逻辑类中的重要成员，尤其在直觉主义非正规模态逻辑背景下。