[论文解读] Uniform Perfectness, Geodesic Richness, and Rigidity for Sublinearly Morse Boundaries

Hyungryul Baik|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2026

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 0

一句话总结

本文将 Han–Liu 对均匀完美性的刻画从 Morse 边界推广到子线性 Morse 边界，证明其等价于 κ-Morse 犹豫丰富性与 κ-中心穷尽性，并在子线性 setting 中建立刚性结果。

ABSTRACT

Han and Liu gave a geometric characterization of uniform perfectness for the Morse boundary of a proper geodesic metric space: the Morse boundary is uniformly perfect if and only if the space is Morse geodesically rich, equivalently center--exhaustive. In this paper we prove the analogous statement for the sublinearly Morse boundary $\partial_κX$. Here $κ$ is a fixed concave increasing sublinear function and $\partial_κX$ is the boundary introduced by Qing--Rafi for CAT(0) spaces and extended by Qing--Rafi--Tiozzo to proper geodesic spaces. Assuming that $\partial_κX$ has at least three points, we show that uniform perfectness of $\partial_κX$ (for any $κ$--visual metric based at a fixed basepoint) is equivalent to $κ$--Morse geodesic richness and to $κ$--center--exhaustiveness. The geometric input is a sublinear thin--triangle statement for $κ$--Morse geodesics, together with the renormalization map $ρ_κ(t)=\int_0^t \frac{ds}{κ(s)}$, which converts $κ$--scale errors at radius $R$ into bounded errors in the $ρ_κ$--scale. As applications we obtain quantitative lower bounds on the lower Assouad dimension (and, under doubling hypotheses, on the Hausdorff dimension) of $κ$--visual metrics on $\partial_κX$ in terms of the uniform perfectness constant. Finally, for $κ$--center--exhaustive spaces $X$ and $Y$ satisfying a mild additional growth condition on $κ$, we prove a rigidity statement in the sublinear category: every quasi-symmetric homeomorphism $\partial_κX o\partial_κY$ is induced by a sublinear bilipschitz equivalence $X o Y$.

研究动机与目标

• 为捕捉超出均匀界限的稳定性现象，提出子线性一般化的 Morse 边界概念。
• 建立 κ-边界的均匀完美性等价于 κ-Morse 几何丰富性与 κ-中心穷尽性。
• 发展子线性几何工具箱（κ-总三角形、粗略中心）以将边界性质转化为内部几何。
• 推导 κ-可视度量的维数界和刚性：准对称边界写像来自子线性双仿射映射。

提出的方法

• 引入 κ-邻域和 κ-弱 Morse 线性以定义 κ-边界 ∂κX。
• 使用重正化映射 ρκ(t)=∫0^t ds/κ(s) 通过 κ-尺度记账来控制子线性误差。
• 证明 κ-极简三角形并构造粗略中心集以定义 κ-中心穷尽性。
• 建立 κ-MGR、κ-UMB、κ-CE 之间的等价（定理 1.1）。
• 证明边界刚性陈述：在 κ 满足增长条件时，每个拟对称边界映射由子线性双仿射映射诱导（定理 1.2）。
• 推导 κ-可视度量的下 Assouad 维数和（在二倍性假设下的）Hausdorff 维数的量化下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下 κ-边界 ∂κX 相对于 κ-Morse 几何丰富性与中心穷尽性是均匀完美的？
• RQ2 κ-Morse 几何丰富性是否蕴含 κ-中心穷尽性，反之亦然？
• RQ3 在何种条件下 边界拟对称映射会诱导 X 与 Y 之间的子线性双仿射等价？
• RQ4 统一完美性对 κ-可视度量的定量维数有哪些影响？

主要发现

• 在假设 ∂κX 至少有三点时，∂κX 的均匀完美性等价于 κ-Morse 几何丰富性与 κ-中心穷尽性。
• 证明利用 κ-极简三角形性质和重正化 ρκ 将 κ-尺度误差转化为有界的 ρκ-尺度误差。
• κ-中心穷尽的空间可得到边界均匀完美性，并在额外 κ-增长条件下得到边界刚性：拟对称边界映射来自子线性双仿射映射。
• 给出 κ-可视度量在均匀完美性常数下的下界的定量估计（在 doubling 条件下适用 Hausdorff 维数的估计）。
• 刚性定理（定理 1.2）表明，当 κ 满足严格的子线性界时，某些拟对称边界映射来自 X 与 Y 之间的子线性双仿射等价。
• 应用包括对 ∂κX 的维度分析以及与稳定子空间的联系。